ОБРАТНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

задача об отыскании области и аналитической в ней функции по заданным на границе области значениям функции. Точнее, внутренняя (внешняя) О. к. з. (см. [1], [2]) состоит в определении неизвестной границы $\gamma \subset \mathbf{C}$ заданной длины $l$, ограничивающей конечную (бесконечную) область $D_{z}^{+}\left(D_{z}^{-}\right)$, и аналитической в $D_{z}^{+}$функции $w=w(z)$ таких, что на неизвестной границе удовлетворяются краевые условия: \[ \left.\operatorname{Re} w(z)\right|_{\gamma}=f_{1}(s),\left.\operatorname{Im} w(z)\right|_{\gamma}=f_{2}(s), 0 \leqslant s \leqslant l, \] где $s$ - длина дуги кривой $\gamma$. Предполагается, что требования, накладываемые на функции $f_{1}$ и $f_{2}$, гарантируют жордановость и определенную гладкость замкнутой кривой \[ L=\left\{w \in \mathbb{C} \mid w=f_{1}(s)+f_{2}(s), 0 \leqslant s \leqslant l\right\} . \] $\mathrm{K}$ таким задачам приводят математич. модели аэродинамики, теории фильтрации, магнитной гидродинамики, теории взрыва и т. д. (см. [3], [4]). Метод решения О. К. З., основанный на теории конформных отображений, заключается в установлении соответствия между длинами дуг $d s$ неизвестной границы $\gamma$ и \[ d \sigma=\sqrt{f_{1}^{\prime}(s)+f_{2}^{\prime}(s)} d s=\sqrt{|\nabla f|^{2}} d s \] известной кривой $L$ с последующим решением Дирихле задачи в известной области $D_{w}$ для действительной части функции \[ \alpha(w)=\ln z^{\prime}(w) \] по известным граничным данным \[ \left.\alpha\right|_{L}=\ln |d s / d \sigma|=-1 / 2 \ln |\nabla f|^{2} . \] Решение внутренней О. к. з. существует и допускает интегральное представление вида: \[ z(w)=e^{i \beta} \int_{a}^{w} \exp \varphi\left(-1 / 2 \ln |\nabla f|^{2}\right)(w) d w+C, \] где $\varphi$ - оператор Шварца в области $D_{w}^{+}$, константы $\beta \in \mathbb{R}$, $C \in \mathbb{C}$. Построение функции $w(z)$ в уже найденной области $D_{z}^{+}=z\left(D_{w}^{+}\right)$не составляет труда. Общий вид представления (2) показывает, что искомая область $D_{z}^{+}$определяется с точностью до движения. Совокупность подобных областей, отличающихся лишь положением на плоскости, естественно рассматривается как одно решение. Для внутренней О. к. з. такое решение единственно. Внешняя О. к. з. характеризуется тем, что бесконечно удаленная точка принадлежит искомой области $D_{z}^{-}$. Применяя описанный метод решения, приходится восстанавливать функцию $z^{\prime}(w)$, аналитическую в $D_{w}^{-}$кроме точки $w_{0}=w(\infty)$, где она имеет полюс 2-го порядка. Соотношение $\operatorname{Res}_{w_{0}} z^{\prime}(w)=0$, гарантирующее отсутствие логарифмич. особенности у $z(w)$ в точке $w_{0}$, является условием замкнутости неизвестной границы и служит уравнением для отыскания $w_{0}$. Оно разрешимо, вообще говоря, не единственным способом, а внешняя О. к. з. в силу этого может иметь несколько существенно различных решений. В то же время внешняя О. к. з. однозначно разрешима в классах областей с выпуклыми границами, звездными границами и в нек-рых более широких классах. В модельных задачах математич. физики используются способы задания граничных данных функции $w(z)$ через другие параметры (полярный радиус, полярный угол, декартовы координаты и т. д.), вносящие изменения в схему решения О. к. з. Рассматриваются О. к. з. в многосвязных областях, на римановых поверхностях, для функций с особенностями полярного и логарифмич. характера и т.д. (см. [2], [4]). При этом, как правило, сохраняется общий метод решения, тогда как используемый аппарат усложняется. Изучаются так наз. смешанные О. к. з. (см. [3], [4]), когда граница искомой области состоит из известной части границы $\gamma_{1}$, где задана действительная или мнимая часть $w(z)$, и неизвестной части границы $\gamma_{2}$, где заданы краевые условия (1). В настоящее время эти задачи исследованы в отдельных частных случаях. В прикладных задачах требование жордановости неизвестной границы означает физич. реализуемость решения, в связи с чем встает проблема выделения однолистных решений О. к. з. по исходным краевым условиям (1). Имеются определенные достижения в этом направлении (см. [5]), но до окончательного решения проблемы далеко.

задача об отыскании области и аналитической в ней функции по заданным на границе области значениям функции. Точнее, внутренняя (внешняя) О. к. з. (см. [1], [2]) состоит в определении неизвестной границы $\gamma \subset \mathbf{C}$ заданной длины $l$, ограничивающей конечную (бесконечную) область $D_{z}^{+}\left(D_{z}^{-}\right)$, и аналитической в $D_{z}^{+}$функции $w=w(z)$ таких, что на неизвестной границе удовлетворяются краевые условия: \[ \left.\operatorname{Re} w(z)\right|_{\gamma}=f_{1}(s),\left.\operatorname{Im} w(z)\right|_{\gamma}=f_{2}(s), 0 \leqslant s \leqslant l, \] где $s$ - длина дуги кривой $\gamma$. Предполагается, что требования, накладываемые на функции $f_{1}$ и $f_{2}$, гарантируют жордановость и определенную гладкость замкнутой кривой \[ L=\left\{w \in \mathbb{C} \mid w=f_{1}(s)+f_{2}(s), 0 \leqslant s \leqslant l\right\} . \] $\mathrm{K}$ таким задачам приводят математич. модели аэродинамики, теории фильтрации, магнитной гидродинамики, теории взрыва и т. д. (см. [3], [4]). Метод решения О. К. З., основанный на теории конформных отображений, заключается в установлении соответствия между длинами дуг $d s$ неизвестной границы $\gamma$ и \[ d \sigma=\sqrt{f_{1}^{\prime}(s)+f_{2}^{\prime}(s)} d s=\sqrt{|\nabla f|^{2}} d s \] известной кривой $L$ с последующим решением Дирихле задачи в известной области $D_{w}$ для действительной части функции \[ \alpha(w)=\ln z^{\prime}(w) \] по известным граничным данным \[ \left.\alpha\right|_{L}=\ln |d s / d \sigma|=-1 / 2 \ln |\nabla f|^{2} . \] Решение внутренней О. к. з. существует и допускает интегральное представление вида: \[ z(w)=e^{i \beta} \int_{a}^{w} \exp \varphi\left(-1 / 2 \ln |\nabla f|^{2}\right)(w) d w+C, \] где $\varphi$ - оператор Шварца в области $D_{w}^{+}$, константы $\beta \in \mathbb{R}$, $C \in \mathbb{C}$. Построение функции $w(z)$ в уже найденной области $D_{z}^{+}=z\left(D_{w}^{+}\right)$не составляет труда. Общий вид представления (2) показывает, что искомая область $D_{z}^{+}$определяется с точностью до движения. Совокупность подобных областей, отличающихся лишь положением на плоскости, естественно рассматривается как одно решение. Для внутренней О. к. з. такое решение единственно. Внешняя О. к. з. характеризуется тем, что бесконечно удаленная точка принадлежит искомой области $D_{z}^{-}$. Применяя описанный метод решения, приходится восстанавливать функцию $z^{\prime}(w)$, аналитическую в $D_{w}^{-}$кроме точки $w_{0}=w(\infty)$, где она имеет полюс 2-го порядка. Соотношение $\operatorname{Res}_{w_{0}} z^{\prime}(w)=0$, гарантирующее отсутствие логарифмич. особенности у $z(w)$ в точке $w_{0}$, является условием замкнутости неизвестной границы и служит уравнением для отыскания $w_{0}$. Оно разрешимо, вообще говоря, не единственным способом, а внешняя О. к. з. в силу этого может иметь несколько существенно различных решений. В то же время внешняя О. к. з. однозначно разрешима в классах областей с выпуклыми границами, звездными границами и в нек-рых более широких классах. В модельных задачах математич. физики используются способы задания граничных данных функции $w(z)$ через другие параметры (полярный радиус, полярный угол, декартовы координаты и т. д.), вносящие изменения в схему решения О. к. з. Рассматриваются О. к. з. в многосвязных областях, на римановых поверхностях, для функций с особенностями полярного и логарифмич. характера и т.д. (см. [2], [4]). При этом, как правило, сохраняется общий метод решения, тогда как используемый аппарат усложняется. Изучаются так наз. смешанные О. к. з. (см. [3], [4]), когда граница искомой области состоит из известной части границы $\gamma_{1}$, где задана действительная или мнимая часть $w(z)$, и неизвестной части границы $\gamma_{2}$, где заданы краевые условия (1). В настоящее время эти задачи исследованы в отдельных частных случаях. В прикладных задачах требование жордановости неизвестной границы означает физич. реализуемость решения, в связи с чем встает проблема выделения однолистных решений О. к. з. по исходным краевым условиям (1). Имеются определенные достижения в этом направлении (см. [5]), но до окончательного решения проблемы далеко.