ОПЕРАТОРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Представление произведений нескольких локальных операторов, определенных в различных точках пространства-времени, в виде суммы отдельных локальных операторов. В квантовой теории поля из-за сингулярного поведения Грина функций на малых расстояниях возникает трудность при построении локальных составных операторов из произведений гейзенберговских полей (см. Гейзенберга представление) $\varphi_{i}(x)(x$ - точка пространства-времени). В теории свободных полей для этой цели используется понятие нормального произведения (обозначается : ... :). Напр., для случая скалярного поля $\varphi(x)$ локальными операторами являются $: \varphi^{3}(x):,: \varphi^{2}(x) \partial_{\mu} \varphi(x) \partial_{v} \varphi(x):$ и т. д. $(\mu, \quad v=0,1,2,3$, $\left.\partial_{\mu} \equiv \partial / \partial x^{\mu}\right)$. Общий рецепт для построения локальных составных операторов, справедливый как для свободных, так и для взаимодействующих полей, дает О. р. Вильсона [1]: \[ \left.A(x) B(y)\right|_{x \rightarrow y}=\sum_{n} C_{n}(x-y) O_{n}(x), \] где $A(x), B(y)$ и $O_{n}(x)$ - локальные операторы, $C_{n}(x-y)$ коэффициентные функции, являющиеся обобщением функций Грина. Величины $C_{n}(z)$ содержат сингулярности типа $\left(-z_{\mu}^{2}+i \varepsilon z_{0}\right)^{-P_{n}}$, где добавка $і \varepsilon z_{0}(\varepsilon \rightarrow+0)$ необходима для того, чтобы матричный элемент от левой части соотношения (1) удовлетворял правильным спектральным свойствам, вытекающим из положительности энергии для всех промежуточных состояний. Показатели степени $P_{n}$ могут быть выражены через размерности $\Delta_{i}$ (в единицах массы) операторов $A, B$ и $O_{n}$ по формуле \[ P_{n}=\left(\Delta_{A}+\Delta_{B}-\Delta_{n}\right) / 2 \] где $\Delta_{i}=d_{i}+\gamma_{i}, d_{i}-$ канонич. размерности операторов, $\gamma_{i}-$ их аномальные размерности. O. p. (1) справедливо во всех порядках теории возмущений в перенормируемых моделях квантовой теории поля (см. Перенормируемость). В теории возмущений размерности полей равны каноническим $\left(\gamma_{i}=0\right)$, а коэффициентная виде множителя полином по $\ln \left(-z^{2}\right)$. Главный вклад в сумму (1) при $x \rightarrow y$ вносят операторы с минимальной размерностью, среди к-рых самыми важными являются единичный оператор $I\left(d_{I}=1\right)$, сохраняющиеся (точно или приближенно) токи $j_{\mu}(x)\left(d_{j}=3\right)$ и тензор энергии-импульса $\theta_{\mu \nu}(x)\left(d_{\theta}=4\right)$. При учете взаимодействия размерность операторов $I, j_{\mu}$ и $\theta_{\mu \nu}$ не меняется. Из этого, в частности, следует, что матричный элемент от хронологического произведения $T$ двух электромагнитных токов по вакуумному состоянию \[ \left\langle 0\left|T\left(j_{\mu}(x) j_{v}(x)\right)\right| 0\right\rangle \] при $x \rightarrow 0$ ведет себя так же, как в свободной теории. Сечение $\mathrm{e}^{+} \mathrm{e}^{-}$-аннигиляции в адроны, к-рое определяется мнимой частью этого матричного элемента в импульсном представлении, при больших энергиях (в системе центра инерции) $\sqrt{s}$ пропорционально $\alpha^{2} / s$ (где $\alpha \approx 1 / 137$ - постоянная тонкой структуры), что согласуется с экспериментом. Поправки к вакуумному среднему (2), возникающие из-за операторов $O_{n}(x)$ с более высокими размерностями $O_{1}(x)=G_{\mu \nu}^{2}(x), O_{2}(x)=[\bar{\psi}(x) \Gamma \psi(x)]^{2}$, где $\psi(x)$, $G_{\mu \nu}(x)$ - кварковое и глюонное поля, $\Gamma$ - нек-рая матрица (черта над $\psi$ означает дираковское сопряжение), приводят к вкладам \[ \sim \frac{\alpha^{2}}{s}\left(C_{1} \frac{\left\langle 0\left|O_{1}(0)\right| 0\right\rangle}{s^{2}}+C_{2} \frac{\left\langle 0\left|O_{2}(0)\right| 0\right\rangle}{s^{3}}\right) \] нарушающим масштабную инвариантность сечения $\mathrm{e}^{+} \mathrm{e}^{-}$-аннигиляции (см. [2]). Существует другая версия формулы (1), а именно: О. р. произведения двух операторов на световом конусе \[ \begin{gathered} \left.A(x) B(0)\right|_{x^{2} \rightarrow 0, x \sim 1 / m}= \\ =\sum_{n, \mathbf{k}=1}^{\infty} C_{n}^{\mathbf{k}}\left(-x^{2}\right) x_{\mu_{1}} x_{\mu_{2}} \ldots x_{\mu_{n}} O_{\mu_{1} \mu_{2} \ldots \mu_{n}}^{\mathbf{k}}(0), \end{gathered} \] где, как и ранее, для простоты предполагается, что $A(x)$ и $B(0)$ являются скалярными по отношению к Лоренца преобразованиям ( $m$ - характерная масса адрона, $O_{\mu_{1} \mu_{2} \ldots \mu_{n}}^{\mathbf{k}}-$ нек-рый тензорный оператор, $\mu_{i}=0,1,2,3$ ). Для классификации локальных операторов удобно ввести понятие твиста. Твист тензора $O_{\mu_{1} \mu_{2} \ldots \mu_{n}}^{\mathbf{k}}(x)$ равен по определению разности его размерности $\Delta_{n}$ и спина $S_{n}$. Главный вклад в разложение (3) дают операторы, имеющие минимальное значение твиста; при этом их спины и моменты могут быть произвольными. Напр., для операторов, билинейных по кварковым полям, минимальный твист (два) имеет выражение $O_{\mu_{1} \mu_{2} \ldots \mu_{n}}=S \bar{\psi} \gamma_{\mu_{1}} \partial_{\mu_{2}} \ldots \partial_{\mu_{n}} \psi$, где символ $S$ означает симметризацию по всем лоренцевым индексам и выделение следов. В квантовой хромодинамике для обеспечения калибровочной инвариантности следует в $O_{\mu_{1}} \ldots \mu_{n}$ заменить все производные на ковариантные: $\partial_{\mu} \rightarrow \partial_{\mu}-i g A_{\mu}$ (здесь $A_{\mu}$ - потенциал глюонного поля, $g-$ константа взаимодействия в квантовой хромодинамике). В силу асимптотической свободы и ренормализационной группы коэффициентные функции $C_{n}^{\mathbf{k}}\left(-x^{2}\right)$ в формуле (3) ведут себя при $x^{2} \rightarrow 0$ как \[ \left(-x^{2}+i \varepsilon x_{0}\right)^{1 / 2\left(d_{n}-d_{A}-d_{B}-S_{n}\right)}\left[\ln \left(x^{2} \mu^{2}\right)\right]^{c_{n}}, \] где $c_{n}$ - числа, к-рые могут быть найдены в рамках теории возмущений. О. р. на световом конусе (3) используется, в частности, для нахождения логарифмич. и степенных эффектов нарушения масштабно-инвариантного поведения структурных функций лептон-адронных глубоко неупругих процессов (см. [3]). О. р. является эффективным способом вычисления и классификации различных вкладов в физич. амплитуды процессов и находит широкое распространение в приложениях квантовой теории поля. Возможности применения формул (1), (3) в адронной физике связаны с тем, что вид коэффициентных функций $C_{n}^{\mathrm{K}}$, как правило, может быть установлен с помощью теории возмущений, независимо от специфики сильного взаимодействия, после чего сравнение матричных элементов по физич. адронным состояниям от левой и правой частей равенства (1) [или (3)] приводит к соотношениям между физич. амплитудами. Строгое доказательство О. р. пока существует только в рамках теории возмущений для простых перенормируемых моделей квантовой теории поля (см. [4]). Лит.: [1] Wilson K.G., "Phys. Rev.», 1969, v. 179, p. 1499; [2] Shifman M.A., Vainshtein A. I., Zakharov V.I., "Nucl. Phys. B», 1979, v. 147, p. 385; [3] Gross D.J., Wilczek F., «Phys. Rev. D», 1974, v. 9, p. 980; [4] Завьялов О. И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М., $1979 . \quad$ Л. Н. Липатов.

Представление произведений нескольких локальных операторов, определенных в различных точках пространства-времени, в виде суммы отдельных локальных операторов. В квантовой теории поля из-за сингулярного поведения Грина функций на малых расстояниях возникает трудность при построении локальных составных операторов из произведений гейзенберговских полей (см. Гейзенберга представление) $\varphi_{i}(x)(x$ - точка пространства-времени). В теории свободных полей для этой цели используется понятие нормального произведения (обозначается : ... :). Напр., для случая скалярного поля $\varphi(x)$ локальными операторами являются $: \varphi^{3}(x):,: \varphi^{2}(x) \partial_{\mu} \varphi(x) \partial_{v} \varphi(x):$ и т. д. $(\mu, \quad v=0,1,2,3$, $\left.\partial_{\mu} \equiv \partial / \partial x^{\mu}\right)$. Общий рецепт для построения локальных составных операторов, справедливый как для свободных, так и для взаимодействующих полей, дает О. р. Вильсона [1]: \[ \left.A(x) B(y)\right|_{x \rightarrow y}=\sum_{n} C_{n}(x-y) O_{n}(x), \] где $A(x), B(y)$ и $O_{n}(x)$ - локальные операторы, $C_{n}(x-y)$ коэффициентные функции, являющиеся обобщением функций Грина. Величины $C_{n}(z)$ содержат сингулярности типа $\left(-z_{\mu}^{2}+i \varepsilon z_{0}\right)^{-P_{n}}$, где добавка $і \varepsilon z_{0}(\varepsilon \rightarrow+0)$ необходима для того, чтобы матричный элемент от левой части соотношения (1) удовлетворял правильным спектральным свойствам, вытекающим из положительности энергии для всех промежуточных состояний. Показатели степени $P_{n}$ могут быть выражены через размерности $\Delta_{i}$ (в единицах массы) операторов $A, B$ и $O_{n}$ по формуле \[ P_{n}=\left(\Delta_{A}+\Delta_{B}-\Delta_{n}\right) / 2 \] где $\Delta_{i}=d_{i}+\gamma_{i}, d_{i}-$ канонич. размерности операторов, $\gamma_{i}-$ их аномальные размерности. O. p. (1) справедливо во всех порядках теории возмущений в перенормируемых моделях квантовой теории поля (см. Перенормируемость). В теории возмущений размерности полей равны каноническим $\left(\gamma_{i}=0\right)$, а коэффициентная виде множителя полином по $\ln \left(-z^{2}\right)$. Главный вклад в сумму (1) при $x \rightarrow y$ вносят операторы с минимальной размерностью, среди к-рых самыми важными являются единичный оператор $I\left(d_{I}=1\right)$, сохраняющиеся (точно или приближенно) токи $j_{\mu}(x)\left(d_{j}=3\right)$ и тензор энергии-импульса $\theta_{\mu \nu}(x)\left(d_{\theta}=4\right)$. При учете взаимодействия размерность операторов $I, j_{\mu}$ и $\theta_{\mu \nu}$ не меняется. Из этого, в частности, следует, что матричный элемент от хронологического произведения $T$ двух электромагнитных токов по вакуумному состоянию \[ \left\langle 0\left|T\left(j_{\mu}(x) j_{v}(x)\right)\right| 0\right\rangle \] при $x \rightarrow 0$ ведет себя так же, как в свободной теории. Сечение $\mathrm{e}^{+} \mathrm{e}^{-}$-аннигиляции в адроны, к-рое определяется мнимой частью этого матричного элемента в импульсном представлении, при больших энергиях (в системе центра инерции) $\sqrt{s}$ пропорционально $\alpha^{2} / s$ (где $\alpha \approx 1 / 137$ - постоянная тонкой структуры), что согласуется с экспериментом. Поправки к вакуумному среднему (2), возникающие из-за операторов $O_{n}(x)$ с более высокими размерностями $O_{1}(x)=G_{\mu \nu}^{2}(x), O_{2}(x)=[\bar{\psi}(x) \Gamma \psi(x)]^{2}$, где $\psi(x)$, $G_{\mu \nu}(x)$ - кварковое и глюонное поля, $\Gamma$ - нек-рая матрица (черта над $\psi$ означает дираковское сопряжение), приводят к вкладам \[ \sim \frac{\alpha^{2}}{s}\left(C_{1} \frac{\left\langle 0\left|O_{1}(0)\right| 0\right\rangle}{s^{2}}+C_{2} \frac{\left\langle 0\left|O_{2}(0)\right| 0\right\rangle}{s^{3}}\right) \] нарушающим масштабную инвариантность сечения $\mathrm{e}^{+} \mathrm{e}^{-}$-аннигиляции (см. [2]). Существует другая версия формулы (1), а именно: О. р. произведения двух операторов на световом конусе \[ \begin{gathered} \left.A(x) B(0)\right|_{x^{2} \rightarrow 0, x \sim 1 / m}= \\ =\sum_{n, \mathbf{k}=1}^{\infty} C_{n}^{\mathbf{k}}\left(-x^{2}\right) x_{\mu_{1}} x_{\mu_{2}} \ldots x_{\mu_{n}} O_{\mu_{1} \mu_{2} \ldots \mu_{n}}^{\mathbf{k}}(0), \end{gathered} \] где, как и ранее, для простоты предполагается, что $A(x)$ и $B(0)$ являются скалярными по отношению к Лоренца преобразованиям ( $m$ - характерная масса адрона, $O_{\mu_{1} \mu_{2} \ldots \mu_{n}}^{\mathbf{k}}-$ нек-рый тензорный оператор, $\mu_{i}=0,1,2,3$ ). Для классификации локальных операторов удобно ввести понятие твиста. Твист тензора $O_{\mu_{1} \mu_{2} \ldots \mu_{n}}^{\mathbf{k}}(x)$ равен по определению разности его размерности $\Delta_{n}$ и спина $S_{n}$. Главный вклад в разложение (3) дают операторы, имеющие минимальное значение твиста; при этом их спины и моменты могут быть произвольными. Напр., для операторов, билинейных по кварковым полям, минимальный твист (два) имеет выражение $O_{\mu_{1} \mu_{2} \ldots \mu_{n}}=S \bar{\psi} \gamma_{\mu_{1}} \partial_{\mu_{2}} \ldots \partial_{\mu_{n}} \psi$, где символ $S$ означает симметризацию по всем лоренцевым индексам и выделение следов. В квантовой хромодинамике для обеспечения калибровочной инвариантности следует в $O_{\mu_{1}} \ldots \mu_{n}$ заменить все производные на ковариантные: $\partial_{\mu} \rightarrow \partial_{\mu}-i g A_{\mu}$ (здесь $A_{\mu}$ - потенциал глюонного поля, $g-$ константа взаимодействия в квантовой хромодинамике). В силу асимптотической свободы и ренормализационной группы коэффициентные функции $C_{n}^{\mathbf{k}}\left(-x^{2}\right)$ в формуле (3) ведут себя при $x^{2} \rightarrow 0$ как \[ \left(-x^{2}+i \varepsilon x_{0}\right)^{1 / 2\left(d_{n}-d_{A}-d_{B}-S_{n}\right)}\left[\ln \left(x^{2} \mu^{2}\right)\right]^{c_{n}}, \] где $c_{n}$ - числа, к-рые могут быть найдены в рамках теории возмущений. О. р. на световом конусе (3) используется, в частности, для нахождения логарифмич. и степенных эффектов нарушения масштабно-инвариантного поведения структурных функций лептон-адронных глубоко неупругих процессов (см. [3]). О. р. является эффективным способом вычисления и классификации различных вкладов в физич. амплитуды процессов и находит широкое распространение в приложениях квантовой теории поля. Возможности применения формул (1), (3) в адронной физике связаны с тем, что вид коэффициентных функций $C_{n}^{\mathrm{K}}$, как правило, может быть установлен с помощью теории возмущений, независимо от специфики сильного взаимодействия, после чего сравнение матричных элементов по физич. адронным состояниям от левой и правой частей равенства (1) [или (3)] приводит к соотношениям между физич. амплитудами. Строгое доказательство О. р. пока существует только в рамках теории возмущений для простых перенормируемых моделей квантовой теории поля (см. [4]). Лит.: [1] Wilson K.G., "Phys. Rev.», 1969, v. 179, p. 1499; [2] Shifman M.A., Vainshtein A. I., Zakharov V.I., "Nucl. Phys. B», 1979, v. 147, p. 385; [3] Gross D.J., Wilczek F., «Phys. Rev. D», 1974, v. 9, p. 980; [4] Завьялов О. И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М., $1979 . \quad$ Л. Н. Липатов.