ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА, СООТНОШЕНИЕ БОРА-ПАЙЕРЛСА-ПЛАЧЕКА

теорема, устанавливающая пропорциональность мнимой части амплитуды упругого рассеяния на нулевой угол полному сечению. В системе центра масс она имеет вид: \[ \operatorname{Im} F(s, t=0)=2|\boldsymbol{k}| \sqrt{s} \sigma_{t}(s), \] где $\boldsymbol{k}$ - импульс, $s$ - квадрат суммы энергий сталкивающихся частиц, $t$ - квадрат переданного импульса. О. т. является строгим следствием унитарности $S$-матрицы. Если $S$-матрицу записать в виде: $S=I+i T$, то условие унитарности $S S^{+}=I, S^{+}$- эрмитово сопряженная матрица, приводит к равенству: \[ 2 \operatorname{Im} T_{a a}=\sum_{n} T_{a n} T_{n a}^{+}, \] к-рое фактически и есть О.т.; $T_{a b}=\langle b|T| a\rangle,|a\rangle$ и $|b\rangle-$ векторы начального и конечного состояний. Аналогичное соотношение, вытекающее из унитарности $S$-матрицы в представлении, в к-ром задан момент $l$, связывает мнимую часть парциальной волны с парциальным сечением (обобщенная О.т.). В случае бесспиновых частиц она имеет вид: \[ \operatorname{Im} f_{l}(s)=\left|f_{l}(s)\right|^{2}+R_{l}(s) ; R_{l}(s) \geqslant 0 ; \] $R_{l}(s)$ определяет вклад неупругих процессов, для чисто упругого рассеяния $R_{l}(s)=0$. О.т. устанавливает важную связь между упругим и неупругим процессами. Из этой теоремы следует положительность мнимой части амплитуды упругого рассеяния вперед. Равенства (1), (3), наряду с доказанными в аксиоматич. квантовой теории поля аналитич. свойствами амплитуды рассеяния по переменным $s$ и $t$, играют ключевую роль в выводе строгих ограничений на амплитуды рассеяния упругих и неупругих процессов. Важным примером такого рода результатов являются неравенства, ограничивающие допустимые в теории рост и падение амплитуд рассеяния. Так, полное сечение адрон-адронного рассеяния удовлетворяет неравенству Фруассара: \[ \sigma_{t}(s) \leqslant \frac{\pi}{m^{2}} \ln ^{2} \frac{s}{s_{0}} \] где $m$ - масса наилегчайшего адрона ( $\pi$-мезона), определяющая размер области аналитичности $F(s, t)$ по $t, s_{0}-$ параметр. Примером ограничения снизу является неравенство: \[ \max _{s \rightarrow \infty}|F(s, t)|>c / s^{2} \] c -константа. Положительность мнимой части амплитуды упругого рассеяния вперед и неравенства (4), (5) ограничивают класс возможных аналитических по $s$ функций $F(s, t=0)$ классом функций, имеющих только конечное число нулей. Нетривиальным физич. следствием такого ограничения класса аналитич. функций является асимптотич. равенство дифференциальных сечений вперед частицы и античастицы на одной и той же мишени. В классич. физике аналогом О. т. является соотношение, связывающее мнимую часть комплексного показателя преломления, то есть величину, характеризующую ослабление амплитуды электромагнитной волны в среде, с амплитудой рассеяния волны отдельным атомом. О. т. в этом случае есть равенство \[ \operatorname{Im} f(k, 0)=\frac{k}{4 \pi} \sigma_{t}(k) \] где $\sigma_{t}(k)$ - полное поперечное сечение экстинции (то есть рассеяния и поглощения) падающей на атом волны, $f(k, 0)$ - амплитуда рассеяния вперед электромагнитной волны отдельным атомом, $k$ - импульс.

теорема, устанавливающая пропорциональность мнимой части амплитуды упругого рассеяния на нулевой угол полному сечению. В системе центра масс она имеет вид: \[ \operatorname{Im} F(s, t=0)=2|\boldsymbol{k}| \sqrt{s} \sigma_{t}(s), \] где $\boldsymbol{k}$ - импульс, $s$ - квадрат суммы энергий сталкивающихся частиц, $t$ - квадрат переданного импульса. О. т. является строгим следствием унитарности $S$-матрицы. Если $S$-матрицу записать в виде: $S=I+i T$, то условие унитарности $S S^{+}=I, S^{+}$- эрмитово сопряженная матрица, приводит к равенству: \[ 2 \operatorname{Im} T_{a a}=\sum_{n} T_{a n} T_{n a}^{+}, \] к-рое фактически и есть О.т.; $T_{a b}=\langle b|T| a\rangle,|a\rangle$ и $|b\rangle-$ векторы начального и конечного состояний. Аналогичное соотношение, вытекающее из унитарности $S$-матрицы в представлении, в к-ром задан момент $l$, связывает мнимую часть парциальной волны с парциальным сечением (обобщенная О.т.). В случае бесспиновых частиц она имеет вид: \[ \operatorname{Im} f_{l}(s)=\left|f_{l}(s)\right|^{2}+R_{l}(s) ; R_{l}(s) \geqslant 0 ; \] $R_{l}(s)$ определяет вклад неупругих процессов, для чисто упругого рассеяния $R_{l}(s)=0$. О.т. устанавливает важную связь между упругим и неупругим процессами. Из этой теоремы следует положительность мнимой части амплитуды упругого рассеяния вперед. Равенства (1), (3), наряду с доказанными в аксиоматич. квантовой теории поля аналитич. свойствами амплитуды рассеяния по переменным $s$ и $t$, играют ключевую роль в выводе строгих ограничений на амплитуды рассеяния упругих и неупругих процессов. Важным примером такого рода результатов являются неравенства, ограничивающие допустимые в теории рост и падение амплитуд рассеяния. Так, полное сечение адрон-адронного рассеяния удовлетворяет неравенству Фруассара: \[ \sigma_{t}(s) \leqslant \frac{\pi}{m^{2}} \ln ^{2} \frac{s}{s_{0}} \] где $m$ - масса наилегчайшего адрона ( $\pi$-мезона), определяющая размер области аналитичности $F(s, t)$ по $t, s_{0}-$ параметр. Примером ограничения снизу является неравенство: \[ \max _{s \rightarrow \infty}|F(s, t)|>c / s^{2} \] c -константа. Положительность мнимой части амплитуды упругого рассеяния вперед и неравенства (4), (5) ограничивают класс возможных аналитических по $s$ функций $F(s, t=0)$ классом функций, имеющих только конечное число нулей. Нетривиальным физич. следствием такого ограничения класса аналитич. функций является асимптотич. равенство дифференциальных сечений вперед частицы и античастицы на одной и той же мишени. В классич. физике аналогом О. т. является соотношение, связывающее мнимую часть комплексного показателя преломления, то есть величину, характеризующую ослабление амплитуды электромагнитной волны в среде, с амплитудой рассеяния волны отдельным атомом. О. т. в этом случае есть равенство \[ \operatorname{Im} f(k, 0)=\frac{k}{4 \pi} \sigma_{t}(k) \] где $\sigma_{t}(k)$ - полное поперечное сечение экстинции (то есть рассеяния и поглощения) падающей на атом волны, $f(k, 0)$ - амплитуда рассеяния вперед электромагнитной волны отдельным атомом, $k$ - импульс.