ОРБИТАЛЬНЫЙ МОМЕНТ, МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

динамическая характеристика движения частицы или механической системы, связанная с вращением. В классич. механике О. м. системы частиц (материальных точек) относительно центра $O$ равен \[ \boldsymbol{L}=\sum_{\alpha}\left[\boldsymbol{r}_{\alpha} \boldsymbol{p}_{\alpha}\right] \] где индекс $\alpha$ нумерует частицы, $\boldsymbol{r}_{\alpha}$ и $\boldsymbol{p}_{\alpha}=m_{\alpha} v_{\alpha}-$ радиус-вектор (проведенный из начала координат $O$) и импульс $\alpha$-й частицы $\left(m_{\alpha}, v_{\alpha}-\right.$ масса и скорость частицы). Из изотропии пространства следует, что при произвольном движении замкнутой системы вектор $\boldsymbol{L}$ сохраняется по величине и направлению (закон сохранения момента). Значение О. м. зависит, вообще говоря, от выбора начала координат. А именно, при сдвиге на вектор $\boldsymbol{a}\left(\boldsymbol{r}_{\alpha}=\boldsymbol{r}_{\alpha}^{\prime}+\boldsymbol{a}\right)$ имеем \[ \boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}^{\prime}+[\boldsymbol{a P}] \] где $\boldsymbol{P}=\sum_{\alpha} p_{\alpha}$ полный импульс системы. На законе сохранения О. м. эта неоднозначность не сказывается, так как у замкнутой системы полный импульс $\boldsymbol{P}$ также сохраняется. В этом случае, когда $\boldsymbol{P}=0$ (то есть система как целое покоится), ее О. м. не зависит от выбора начала координат. Компоненты О. м. имеют следующие скобки Пуассона: \[ \left\{L_{i}, L_{j}\right\}=-e_{i j \mathbf{k}} L_{\mathbf{k}} \] где $e_{i j k}$ - полностью антисимметричный тензор $\left(e_{123}=1\right.$; значения $i=1,2,3$ соответствуют осям $x, y, z)$. Для системы частиц, находящейся под действием внешних сил, изменение О. м. во времени связано с полным моментом внешних сил $N$: \[ \frac{d L}{d t}=N=\sum_{\alpha}\left[\boldsymbol{r}_{\alpha} f_{\alpha}\right] \] где $f_{\alpha}$ - сила, приложенная к $\alpha$-й частице. В этой сумме должны учитываться только внешние силы, так как сумма моментов всех сил, действующих внутри замкнутой системы, всегда равна нулю. При переходе к квантовой механике переменные $\boldsymbol{r}_{\alpha}, p_{\alpha}$ заменяются операторами $\hat{\boldsymbol{r}}_{\alpha}, \quad \hat{\boldsymbol{p}}_{\alpha}, \quad$ причем $\hat{\boldsymbol{r}}_{\alpha}=\boldsymbol{r}_{\alpha}$, $\boldsymbol{p}_{\alpha}=-i \hbar \nabla_{\alpha}$, где $\nabla_{\alpha}=\left(\partial / \partial x_{\alpha}, \partial / \partial y_{\alpha}, \partial / \partial z_{\alpha}\right)$, а О. м. - оператором $\hat{\boldsymbol{L}}=[\hat{\boldsymbol{r}} \hat{\boldsymbol{p}}]$. Соотношение (3) заменяется коммутатором \[ \left[\hat{L}_{i}, \hat{L}_{j}\right]=\hat{L}_{i} \hat{L}_{j}-\hat{L}_{j} \hat{L}_{i}=i \hbar e_{i j k} \hat{L}_{k}, \] из к-рого следует, что различные компоненты оператора О. м. $\hat{L}_{i}$ не коммутируют между собой и поэтому, в соответствии с общими принципами квантовой механики, компоненты момента $L_{i}$ не являются одновременно измеримыми величинами (за исключением случая $\boldsymbol{L}=0$, когда все компоненты О. м. также имеют нулевые значения). Поскольку $\left[\hat{L}^{2}, \hat{L}_{i}\right]=0$, то одновременно измеримы квадрат О. м. и одна из его компонент, в качестве к-рой обычно выбирают $L_{z}$. Возможные наблюдаемые значения этих величин совпадают с собственными значениями $\lambda$, $\mu$ соответствующих операторов и определяются из уравнений \[ \left.\begin{array}{c} \hat{\boldsymbol{L}}^{2} \psi=-\hbar^{2}\left\{\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi^{2}}\right\} \psi=\lambda \psi, \\ \hat{L}_{z} \psi=-i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial \varphi}=\mu \psi, \end{array}\right\} \] где $\theta$ и $\varphi$ - углы в сферич. системе координат, причем $\varphi$ угол поворота вокруг оси $z(\psi-$ собственные функции операторов $\hat{\boldsymbol{L}}^{2}$ и $\hat{L}_{z}$, общие для обоих операторов). Однозначные и всюду ограниченные (на единичной сфере) решения этих уравнений существуют только при \[ \lambda=l(l+1) \hbar^{2}, \mu=m \hbar \] где $l$ (так наз. орбитальное, или азимутальное, квантовое число) принимает значения: $l=0,1,2,3, \ldots$, а $m$ (магнитное квантовое число) определяет величину проекции О. м. на ось $z$ и принимает $2 l+1$ значений: $m=l, l-1, \ldots,-l$, что дает кратность вырождения уровней энергии с данным $l$, равную $2 l+1$. Таким образом, в квантовой механике возникает квантование О. м. Решения уравнения (6) совпадают со сферич. функциями $\psi=Y_{l m}$: \[ Y_{l m}(\vartheta, \varphi)=\text { const } \cdot P_{l}^{m}(\cos \vartheta) e^{i m \varphi}, \] где $P_{l}^{m}$ - присоединенные многочлены Лежандра. В простейших случаях $l=0$ ($S$-состояние) и $l=1$ ($P$-состояние) $Y_{l m}$ выражаются следующим образом: \[ \begin{gathered} Y_{00}=(4 \pi)^{-1 / 2}, \quad Y_{10}=\left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{1 / 2} \cos \vartheta, \\ Y_{1, \pm 1}=\mp\left(\frac{3}{8 \pi}\right)^{1 / 2} \sin \vartheta e^{ \pm i \varphi}, \end{gathered} \] [в литературе встречаются и другие определения $Y_{l m}$, отличающиеся от (8a) фазовыми множителями]. Сферич. функции образуют ортонормированную систему: \[ \int Y_{l m}^{*} Y_{l m} d \Omega=\delta_{l l} \delta_{m m} \] где $d \Omega=\sin \vartheta d \vartheta d \varphi$ - элемент телесного угла, а интегрирование ведется по единичной сфере $(0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi), \delta_{t t}$, символ Кронекера. Величина $\left|Y_{l m}(\vartheta, \varphi)\right|^{2}$ определяет угловую зависимость плотности вероятности пространственного распределения для частицы, находящейся в состоянии с квантовыми числами $l, m$. О. м. и квантовое число $l$ играют важную роль в классификации состояний квантовых систем. Электрон в атоме движется в результирующем самосогласованном поле, к-рое возникает при сложении кулоновского поля ядра и полей остальных электронов. Приближенно можно считать, что это поле является сферически-симметричным, и пренебречь спин-орбитальным взаимодействием (что справедливо для не слишком тяжелых атомов). В этом случае квантовые состояния электрона в атоме характеризуются определенными значениями $l$. В сферич. ядре состояния нуклона, движущегося в усредненном поле остальных нуклонов, также характеризуются значениями $l$ (ядерные оболочки). Даже в тех случаях, когда потенциал взаимодействия не является сферически-симметричным и, следовательно, О. м. не сохраняется (то есть не имеет вполне определенных значений), состояния с определенными $l, m$ часто используются в качестве базиса для разложения волновой функции. Во многих случаях это является эффективным методом численного решения Шредингера уравнения для потенциалов, не обладающих сферич. симметрией. Классификация квантовых состояний частицы по значениям $l$ встречается в теории атома, теории ядра и ядерных реакций, теории столкновений, физике элементарных частиц и др. О. м. микрочастицы (электрон, атом, ядро и т.д.) связан с ее движением в пространстве. Помимо О. м. микрочастица, как правило, обладает внутренним, или спиновым, моментом $s$, имеющим чисто квантовое происхождение (спин исчезает при переходе к пределу $\hbar \rightarrow 0$ и не допускает классич. интерпретации). При наличии спина из изотропии пространства следует, что сохраняются не $\boldsymbol{l}$ и $\boldsymbol{s}$ по отдельности, а лишь полный момент $\boldsymbol{j}=\boldsymbol{l}+\boldsymbol{s}$ (см. Квантовое сложение моментов). При этом собственные значения оператора $j^{2}$ равны $j(j+1) \hbar^{2}$. Волновая функция с определенными значениями $\boldsymbol{j}^{2}$ и $j_{z}$ может быть построена из координатной и спиновой волновых функций с помощью Клебша-Гордона коэффициентов. Имеются правила отбора для переходов между состояниями с определенными $l$ и $j$, к-рые играют важную роль в теории электромагнитных переходов в атомах и ядрах, при рассмотрении распадов элементарных частиц и т.д.

динамическая характеристика движения частицы или механической системы, связанная с вращением. В классич. механике О. м. системы частиц (материальных точек) относительно центра $O$ равен \[ \boldsymbol{L}=\sum_{\alpha}\left[\boldsymbol{r}_{\alpha} \boldsymbol{p}_{\alpha}\right] \] где индекс $\alpha$ нумерует частицы, $\boldsymbol{r}_{\alpha}$ и $\boldsymbol{p}_{\alpha}=m_{\alpha} v_{\alpha}-$ радиус-вектор (проведенный из начала координат $O$) и импульс $\alpha$-й частицы $\left(m_{\alpha}, v_{\alpha}-\right.$ масса и скорость частицы). Из изотропии пространства следует, что при произвольном движении замкнутой системы вектор $\boldsymbol{L}$ сохраняется по величине и направлению (закон сохранения момента). Значение О. м. зависит, вообще говоря, от выбора начала координат. А именно, при сдвиге на вектор $\boldsymbol{a}\left(\boldsymbol{r}_{\alpha}=\boldsymbol{r}_{\alpha}^{\prime}+\boldsymbol{a}\right)$ имеем \[ \boldsymbol{L}=\boldsymbol{L}^{\prime}+[\boldsymbol{a P}] \] где $\boldsymbol{P}=\sum_{\alpha} p_{\alpha}$ полный импульс системы. На законе сохранения О. м. эта неоднозначность не сказывается, так как у замкнутой системы полный импульс $\boldsymbol{P}$ также сохраняется. В этом случае, когда $\boldsymbol{P}=0$ (то есть система как целое покоится), ее О. м. не зависит от выбора начала координат. Компоненты О. м. имеют следующие скобки Пуассона: \[ \left\{L_{i}, L_{j}\right\}=-e_{i j \mathbf{k}} L_{\mathbf{k}} \] где $e_{i j k}$ - полностью антисимметричный тензор $\left(e_{123}=1\right.$; значения $i=1,2,3$ соответствуют осям $x, y, z)$. Для системы частиц, находящейся под действием внешних сил, изменение О. м. во времени связано с полным моментом внешних сил $N$: \[ \frac{d L}{d t}=N=\sum_{\alpha}\left[\boldsymbol{r}_{\alpha} f_{\alpha}\right] \] где $f_{\alpha}$ - сила, приложенная к $\alpha$-й частице. В этой сумме должны учитываться только внешние силы, так как сумма моментов всех сил, действующих внутри замкнутой системы, всегда равна нулю. При переходе к квантовой механике переменные $\boldsymbol{r}_{\alpha}, p_{\alpha}$ заменяются операторами $\hat{\boldsymbol{r}}_{\alpha}, \quad \hat{\boldsymbol{p}}_{\alpha}, \quad$ причем $\hat{\boldsymbol{r}}_{\alpha}=\boldsymbol{r}_{\alpha}$, $\boldsymbol{p}_{\alpha}=-i \hbar \nabla_{\alpha}$, где $\nabla_{\alpha}=\left(\partial / \partial x_{\alpha}, \partial / \partial y_{\alpha}, \partial / \partial z_{\alpha}\right)$, а О. м. - оператором $\hat{\boldsymbol{L}}=[\hat{\boldsymbol{r}} \hat{\boldsymbol{p}}]$. Соотношение (3) заменяется коммутатором \[ \left[\hat{L}_{i}, \hat{L}_{j}\right]=\hat{L}_{i} \hat{L}_{j}-\hat{L}_{j} \hat{L}_{i}=i \hbar e_{i j k} \hat{L}_{k}, \] из к-рого следует, что различные компоненты оператора О. м. $\hat{L}_{i}$ не коммутируют между собой и поэтому, в соответствии с общими принципами квантовой механики, компоненты момента $L_{i}$ не являются одновременно измеримыми величинами (за исключением случая $\boldsymbol{L}=0$, когда все компоненты О. м. также имеют нулевые значения). Поскольку $\left[\hat{L}^{2}, \hat{L}_{i}\right]=0$, то одновременно измеримы квадрат О. м. и одна из его компонент, в качестве к-рой обычно выбирают $L_{z}$. Возможные наблюдаемые значения этих величин совпадают с собственными значениями $\lambda$, $\mu$ соответствующих операторов и определяются из уравнений \[ \left.\begin{array}{c} \hat{\boldsymbol{L}}^{2} \psi=-\hbar^{2}\left\{\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi^{2}}\right\} \psi=\lambda \psi, \\ \hat{L}_{z} \psi=-i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial \varphi}=\mu \psi, \end{array}\right\} \] где $\theta$ и $\varphi$ - углы в сферич. системе координат, причем $\varphi$ угол поворота вокруг оси $z(\psi-$ собственные функции операторов $\hat{\boldsymbol{L}}^{2}$ и $\hat{L}_{z}$, общие для обоих операторов). Однозначные и всюду ограниченные (на единичной сфере) решения этих уравнений существуют только при \[ \lambda=l(l+1) \hbar^{2}, \mu=m \hbar \] где $l$ (так наз. орбитальное, или азимутальное, квантовое число) принимает значения: $l=0,1,2,3, \ldots$, а $m$ (магнитное квантовое число) определяет величину проекции О. м. на ось $z$ и принимает $2 l+1$ значений: $m=l, l-1, \ldots,-l$, что дает кратность вырождения уровней энергии с данным $l$, равную $2 l+1$. Таким образом, в квантовой механике возникает квантование О. м. Решения уравнения (6) совпадают со сферич. функциями $\psi=Y_{l m}$: \[ Y_{l m}(\vartheta, \varphi)=\text { const } \cdot P_{l}^{m}(\cos \vartheta) e^{i m \varphi}, \] где $P_{l}^{m}$ - присоединенные многочлены Лежандра. В простейших случаях $l=0$ ($S$-состояние) и $l=1$ ($P$-состояние) $Y_{l m}$ выражаются следующим образом: \[ \begin{gathered} Y_{00}=(4 \pi)^{-1 / 2}, \quad Y_{10}=\left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{1 / 2} \cos \vartheta, \\ Y_{1, \pm 1}=\mp\left(\frac{3}{8 \pi}\right)^{1 / 2} \sin \vartheta e^{ \pm i \varphi}, \end{gathered} \] [в литературе встречаются и другие определения $Y_{l m}$, отличающиеся от (8a) фазовыми множителями]. Сферич. функции образуют ортонормированную систему: \[ \int Y_{l m}^{*} Y_{l m} d \Omega=\delta_{l l} \delta_{m m} \] где $d \Omega=\sin \vartheta d \vartheta d \varphi$ - элемент телесного угла, а интегрирование ведется по единичной сфере $(0 \leqslant \vartheta \leqslant \pi, 0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi), \delta_{t t}$, символ Кронекера. Величина $\left|Y_{l m}(\vartheta, \varphi)\right|^{2}$ определяет угловую зависимость плотности вероятности пространственного распределения для частицы, находящейся в состоянии с квантовыми числами $l, m$. О. м. и квантовое число $l$ играют важную роль в классификации состояний квантовых систем. Электрон в атоме движется в результирующем самосогласованном поле, к-рое возникает при сложении кулоновского поля ядра и полей остальных электронов. Приближенно можно считать, что это поле является сферически-симметричным, и пренебречь спин-орбитальным взаимодействием (что справедливо для не слишком тяжелых атомов). В этом случае квантовые состояния электрона в атоме характеризуются определенными значениями $l$. В сферич. ядре состояния нуклона, движущегося в усредненном поле остальных нуклонов, также характеризуются значениями $l$ (ядерные оболочки). Даже в тех случаях, когда потенциал взаимодействия не является сферически-симметричным и, следовательно, О. м. не сохраняется (то есть не имеет вполне определенных значений), состояния с определенными $l, m$ часто используются в качестве базиса для разложения волновой функции. Во многих случаях это является эффективным методом численного решения Шредингера уравнения для потенциалов, не обладающих сферич. симметрией. Классификация квантовых состояний частицы по значениям $l$ встречается в теории атома, теории ядра и ядерных реакций, теории столкновений, физике элементарных частиц и др. О. м. микрочастицы (электрон, атом, ядро и т.д.) связан с ее движением в пространстве. Помимо О. м. микрочастица, как правило, обладает внутренним, или спиновым, моментом $s$, имеющим чисто квантовое происхождение (спин исчезает при переходе к пределу $\hbar \rightarrow 0$ и не допускает классич. интерпретации). При наличии спина из изотропии пространства следует, что сохраняются не $\boldsymbol{l}$ и $\boldsymbol{s}$ по отдельности, а лишь полный момент $\boldsymbol{j}=\boldsymbol{l}+\boldsymbol{s}$ (см. Квантовое сложение моментов). При этом собственные значения оператора $j^{2}$ равны $j(j+1) \hbar^{2}$. Волновая функция с определенными значениями $\boldsymbol{j}^{2}$ и $j_{z}$ может быть построена из координатной и спиновой волновых функций с помощью Клебша-Гордона коэффициентов. Имеются правила отбора для переходов между состояниями с определенными $l$ и $j$, к-рые играют важную роль в теории электромагнитных переходов в атомах и ядрах, при рассмотрении распадов элементарных частиц и т.д.