ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

Конечная или счетная система функций $\left\{\varphi_{i}(x)\right\}$, принадлежащих (сепарабельному) гильбертову пространству $L^{2}(a, b)$ (квадратично интегрируемых функций) и удовлетворяющих условиям \[ \int \varphi_{i}(x) \varphi_{j}^{*}(x) g(x) d x=\left\{\begin{array}{l} 0 \text { при } i \neq j, \\ \lambda_{i}>0 \text { при } i=j . \end{array}\right. \] Функция $g(x)$ называется весом О.с.ф., * означает комплексное сопряжение. Если все $\lambda_{i}=1$, то О.с.ф. называется ортонормированной. О.с.ф. называется полной, если для любой функции $f(x) \in L^{2}(a, b)$ существует ряд Фурье \[ \sum_{n} c_{n} \varphi_{n}(x) \] сходящийся к $f(x)$; такой ряд будет единственным, а его коэффициенты определяются формулами: \[ c_{n}=\lambda_{n}^{-1} \int f \varphi_{n}^{*} g(x) d x=\left(f, \varphi_{n}\right) . \] Для всякого ряда Фурье, построенного по О.с. $\Phi .\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$, выполняется неравенство Бесселя \[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|c_{k}\right|^{2} \lambda_{k} \leqslant\|f\|^{2}=(f, f) \] а для полной О.с.ф. справедливо равенство Парсеваля \[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|c_{k}\right|^{2} \lambda_{k}=\|f\|^{2} \] Примеры полных О.с.ф.: 1) тригонометрическая система функций на отрезке $[-1,1], g(x)=1$ : $1 / 2, \cos \pi n x, \sin \pi n x, n=1,2, \ldots$ 2) системы ортогональных многочленов; 3) система Хаара $\left\{\chi_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}, x \in[0,1]: \chi_{1}(x)=1$, \[ \chi_{m}(x)=\left\{\begin{array}{l} 2^{n / 2} \text { при } x \in\left(\frac{2 k-2}{2^{n+1}}, \frac{2 k-1}{2^{n+1}}\right), \\ -2^{n / 2} \text { при } x \in\left(\frac{2 k-1}{2^{n+1}}, \frac{2 k}{2^{n+1}}\right), \\ 0 \text { в остальных точках отрезка, } \end{array}\right. \] а $m=2^{n}+k, 1 \leqslant k \leqslant 2^{n}, m=2,3, \ldots$. О.с.ф. используют в различных физич. задачах. Спектральный анализ в теории колебаний, акустике, радиофизике и оптике основан на разложении функций в ряды по тригонометрич. системе. В любых задачах на собственные значения операторов также появляются О.с.ф., так как для эрмитова оператора $\hat{H}$ собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны между собой. В квантовой механике, где квадрат модуля волновой функции $|\psi(x)|^{2}$ играет роль плотности распределения вероятностей, свойство ортонормируемости отражает тот факт, что полная вероятность найти частицу в данном состоянии равна 1 , если известно, что система находится в состоянии с определенным квантовым числом.

Конечная или счетная система функций $\left\{\varphi_{i}(x)\right\}$, принадлежащих (сепарабельному) гильбертову пространству $L^{2}(a, b)$ (квадратично интегрируемых функций) и удовлетворяющих условиям \[ \int \varphi_{i}(x) \varphi_{j}^{*}(x) g(x) d x=\left\{\begin{array}{l} 0 \text { при } i \neq j, \\ \lambda_{i}>0 \text { при } i=j . \end{array}\right. \] Функция $g(x)$ называется весом О.с.ф., * означает комплексное сопряжение. Если все $\lambda_{i}=1$, то О.с.ф. называется ортонормированной. О.с.ф. называется полной, если для любой функции $f(x) \in L^{2}(a, b)$ существует ряд Фурье \[ \sum_{n} c_{n} \varphi_{n}(x) \] сходящийся к $f(x)$; такой ряд будет единственным, а его коэффициенты определяются формулами: \[ c_{n}=\lambda_{n}^{-1} \int f \varphi_{n}^{*} g(x) d x=\left(f, \varphi_{n}\right) . \] Для всякого ряда Фурье, построенного по О.с. $\Phi .\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$, выполняется неравенство Бесселя \[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|c_{k}\right|^{2} \lambda_{k} \leqslant\|f\|^{2}=(f, f) \] а для полной О.с.ф. справедливо равенство Парсеваля \[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|c_{k}\right|^{2} \lambda_{k}=\|f\|^{2} \] Примеры полных О.с.ф.: 1) тригонометрическая система функций на отрезке $[-1,1], g(x)=1$ : $1 / 2, \cos \pi n x, \sin \pi n x, n=1,2, \ldots$ 2) системы ортогональных многочленов; 3) система Хаара $\left\{\chi_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}, x \in[0,1]: \chi_{1}(x)=1$, \[ \chi_{m}(x)=\left\{\begin{array}{l} 2^{n / 2} \text { при } x \in\left(\frac{2 k-2}{2^{n+1}}, \frac{2 k-1}{2^{n+1}}\right), \\ -2^{n / 2} \text { при } x \in\left(\frac{2 k-1}{2^{n+1}}, \frac{2 k}{2^{n+1}}\right), \\ 0 \text { в остальных точках отрезка, } \end{array}\right. \] а $m=2^{n}+k, 1 \leqslant k \leqslant 2^{n}, m=2,3, \ldots$. О.с.ф. используют в различных физич. задачах. Спектральный анализ в теории колебаний, акустике, радиофизике и оптике основан на разложении функций в ряды по тригонометрич. системе. В любых задачах на собственные значения операторов также появляются О.с.ф., так как для эрмитова оператора $\hat{H}$ собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны между собой. В квантовой механике, где квадрат модуля волновой функции $|\psi(x)|^{2}$ играет роль плотности распределения вероятностей, свойство ортонормируемости отражает тот факт, что полная вероятность найти частицу в данном состоянии равна 1 , если известно, что система находится в состоянии с определенным квантовым числом.