ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОТОЧЛЕНЫ

система многочленов $\left\{P_{n}(x)\right\}, n=0,1,2, \ldots$, удовлетворяющих условию ортогональности: \[ \int_{a}^{b} P_{n}(x) P_{m}(x) h(x) d x=0, \quad n \neq m, \] причем степень каждого многочлена $P_{n}(x)$ равна индексу $n$, a $h(x) \geqslant 0$ - так называемая весовая функция (вес). О. м. называются ортонормированными и обозначаются $\left\{\hat{P}_{n}(x)\right\}$, если каждый многочлен имеет положительный старший коэффициент и выполняется условие нормированности: \[ \int_{a}^{b} \hat{p}_{n}^{2}(x) h(x) d x=1 \] Если старший коэффициент каждого многочлена равен 1, то система О. м. обозначается $\left\{\widetilde{P}_{n}(x)\right\}$. Наиболее важный класс О.м. составляют так наз. классические О.м.; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже $a, b$ и $h(x)$. 1) Якоби многочлены $\left\{P_{n}(x ; \alpha, \quad \beta)\right\}-\quad$ для них $h(x)=(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}, \alpha>-1, \beta>-1, a=-1, b=1$; специальные частные случаи многочленов Якоби: ультрасферические многочлены (иногда их называют многочленами Гегенбауэра) $\left\{P_{n}(x, \alpha)\right\}$ - для них $\alpha=\beta$ Чебышева многочлены 1-го рода $\left\{T_{n}(x)\right\}-$ для них $\alpha=\beta=-1 / 2, h(x)=1 / \sqrt{1-x^{2}}$; Чебышева многочлены 2-го рода $\left\{U_{n}(x)\right\}$ - для них $\alpha=\beta=1 / 2, h(x)=\sqrt{1-x^{2}}$; Лежандра многочлены $\left\{P_{n}(x)\right\}$ - для них $\alpha=\beta=0, h(x) \equiv 1$. 2) Лагерра многочлены $\left\{L_{n}(x)\right\}$ - для них $h(x)=e^{-x}$, $a=0, b=\infty$; обобщенные многочлены Лагерра $\left\{L_{n}(x, \alpha)\right\}$, для к-рых $h(x)=x^{\alpha} e^{-x}, \alpha>-1$. 3) Эрмита многочлены $\left\{H_{n}(x)\right\}$ - для них $a=-\infty, b=+\infty$, $h(x)=e^{-x^{2}}$. Весовая функция классич. О. м. удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона \[ \frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}=\frac{p_{0}+p_{1}(x)}{q_{0}+q_{1} x+q_{2} x^{2}}=\frac{A(x)}{B(x)} ; \quad x \in(a, b), \] а многочлен $y=P_{n}(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению \[ B(x) y^{\prime \prime}+\left[A(x)+B^{\prime}(x)\right] y^{\prime}-n\left[p_{1}+(n+1) q_{2}\right] y=0 . \] О. м. обладают многими общими свойствами. Нули О. м. в случае ортогональности по интервалу $(a, b)$ являются действительными, различными и расположены внутри ( $a$, $b)$, причем между двумя соседними нулями многочлена $P_{n}(x)$ находится один нуль многочлена $P_{n-1}(x)$. Нули О.м. часто применяются в качестве узлов интерполяционных и квадратурных формул. Многочлен $P_{n}(x)$ может быть представлен в виде так наз. формулы Родрига: \[ P_{n}(x)=\frac{c_{n}}{h(x)} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left[h(x) B^{n}(x)\right], \] где $c_{n}$ - нормировочный коэффициент (постоянное), а $\boldsymbol{B}-$ см. формулу (*). Исторически первым примером О. м. были многочлены Лежандра. Затем были введены многочлены Чебышева, общие многочлены Якоби, многочлены Эрмита и Лагерра.

система многочленов $\left\{P_{n}(x)\right\}, n=0,1,2, \ldots$, удовлетворяющих условию ортогональности: \[ \int_{a}^{b} P_{n}(x) P_{m}(x) h(x) d x=0, \quad n \neq m, \] причем степень каждого многочлена $P_{n}(x)$ равна индексу $n$, a $h(x) \geqslant 0$ - так называемая весовая функция (вес). О. м. называются ортонормированными и обозначаются $\left\{\hat{P}_{n}(x)\right\}$, если каждый многочлен имеет положительный старший коэффициент и выполняется условие нормированности: \[ \int_{a}^{b} \hat{p}_{n}^{2}(x) h(x) d x=1 \] Если старший коэффициент каждого многочлена равен 1, то система О. м. обозначается $\left\{\widetilde{P}_{n}(x)\right\}$. Наиболее важный класс О.м. составляют так наз. классические О.м.; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже $a, b$ и $h(x)$. 1) Якоби многочлены $\left\{P_{n}(x ; \alpha, \quad \beta)\right\}-\quad$ для них $h(x)=(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}, \alpha>-1, \beta>-1, a=-1, b=1$; специальные частные случаи многочленов Якоби: ультрасферические многочлены (иногда их называют многочленами Гегенбауэра) $\left\{P_{n}(x, \alpha)\right\}$ - для них $\alpha=\beta$ Чебышева многочлены 1-го рода $\left\{T_{n}(x)\right\}-$ для них $\alpha=\beta=-1 / 2, h(x)=1 / \sqrt{1-x^{2}}$; Чебышева многочлены 2-го рода $\left\{U_{n}(x)\right\}$ - для них $\alpha=\beta=1 / 2, h(x)=\sqrt{1-x^{2}}$; Лежандра многочлены $\left\{P_{n}(x)\right\}$ - для них $\alpha=\beta=0, h(x) \equiv 1$. 2) Лагерра многочлены $\left\{L_{n}(x)\right\}$ - для них $h(x)=e^{-x}$, $a=0, b=\infty$; обобщенные многочлены Лагерра $\left\{L_{n}(x, \alpha)\right\}$, для к-рых $h(x)=x^{\alpha} e^{-x}, \alpha>-1$. 3) Эрмита многочлены $\left\{H_{n}(x)\right\}$ - для них $a=-\infty, b=+\infty$, $h(x)=e^{-x^{2}}$. Весовая функция классич. О. м. удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона \[ \frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}=\frac{p_{0}+p_{1}(x)}{q_{0}+q_{1} x+q_{2} x^{2}}=\frac{A(x)}{B(x)} ; \quad x \in(a, b), \] а многочлен $y=P_{n}(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению \[ B(x) y^{\prime \prime}+\left[A(x)+B^{\prime}(x)\right] y^{\prime}-n\left[p_{1}+(n+1) q_{2}\right] y=0 . \] О. м. обладают многими общими свойствами. Нули О. м. в случае ортогональности по интервалу $(a, b)$ являются действительными, различными и расположены внутри ( $a$, $b)$, причем между двумя соседними нулями многочлена $P_{n}(x)$ находится один нуль многочлена $P_{n-1}(x)$. Нули О.м. часто применяются в качестве узлов интерполяционных и квадратурных формул. Многочлен $P_{n}(x)$ может быть представлен в виде так наз. формулы Родрига: \[ P_{n}(x)=\frac{c_{n}}{h(x)} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left[h(x) B^{n}(x)\right], \] где $c_{n}$ - нормировочный коэффициент (постоянное), а $\boldsymbol{B}-$ см. формулу (*). Исторически первым примером О. м. были многочлены Лежандра. Затем были введены многочлены Чебышева, общие многочлены Якоби, многочлены Эрмита и Лагерра.