ОСНОВНОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

уравнение для вероятности распределения квантовой системы по квантовым состояниям. Установлено В. Паули (W. Pauli, 1928). О. к. у. является квантовым кинетич. уравнением; иногда его называют управляющим уравнением, или уравнением Паули, из него можно вывести Больцмана кинетическое уравнение. О. к. у. для вероятности $P_{n}$ квантового состояния $n$ имеет вид \[ \frac{d P_{n}}{d t}=\sum_{m}\left(w_{n m} P_{m}-w_{m n} P_{n}\right), \] где $w_{n m}-$ вероятность перехода системы из квантового состояния $m$ в состояние $n$ в единицу времени под влиянием не зависящего от времени возмущения. Индексы $n, m$ соответствуют квантовым стационарным состояниям гамильтониана свободных частиц $H_{0}$, то есть многочастичным состояниям. Вероятность $P_{n}$ равна диагональному элементу плотности матрицы $\rho_{n n}$. О. к. у. описывает необратимый процесс приближения $\mathbf{K}$ статистич. равновесию систем со многими степенями свободы. Обычно предполагают, что оно вызывается возмущающим членом $\lambda V$ в гамильтониане $H=H_{0}+\lambda V(\lambda-$ параметр взаимодействия). Внешние поля предполагаются отсутствующими, возмущение считается малым. О. к. у. выводится из Лиувиля уравнения для матрицы плотности во втором приближении теории возмущений. Для изолированных систем вероятность прямого перехода равна вероятности обратного перехода: \[ w_{n m}=w_{m n}, \] так как \[ w_{m n}=2 \pi \lambda^{2} \hbar^{-1}\left|V_{m n}\right|^{2} \delta\left(\mathscr{E}_{m}-\mathscr{E}_{n}\right) \text {. } \] Для дискретных $\boldsymbol{m}, n \boldsymbol{\delta}$-функция переходит в символ Кронекера. Если динамич. подсистема взаимодействует с системой с большим числом степеней свободы, находящейся в состоянии статистич. равновесия (термостатом), то для получения вероятности распределения состояний в динамич. подсистеме нужно просуммировать распределение вероятностей в полной системе (удовлетворяющее О. к. у.) по квантовым состояниям термостата. В этом случае вероятность распределения по состояниям динамич. подсистемы также удовлетворяет О. к. у., но вероятность прямого перехода уже не равна вероятности обратного перехода, а удовлетворяет принципу детального равновесия: \[ w_{m n} / w_{n m}=\exp \left[-\left(\mathscr{E}_{n}-\mathscr{E}_{m}\right) / k T\right] \] $T$ - абсолютная температура, $m, n$ определяют теперь квантовые состояния динамич. подсистемы, соответствующие уровням энергии $\mathscr{E}_{m}$, $\mathscr{E}_{n}$. Наиболее простую форму имеет О. к. у. для одночастичных квантовых уровней системы. Тогда числа заполнения уровней $n_{k}$ удовлетворяют уравнению \[ \frac{d n_{k}}{d t}=\sum_{l}\left(w_{k l} n_{l}-w_{l k} n_{k}\right) \] $w_{k l}$ - вероятность перехода в единицу времени между одночастичными уровнями. О. к. у. позволяет ввести энтропию неравновесного квантового состояния: \[ S=-k \sum_{n} P_{n} \ln P_{n} \] к-рая монотонно возрастает, стремясь к равновесной при $t \rightarrow \infty$, то есть удовлетворяет квантовой $H$-теореме Больцмана. При выводе О. к. у. В. Паули использовал предположение о хаотичности фаз квантовых состояний (гипотеза молекулярного хаоса) в любой момент времени. Затем Л. Ван Хов (L. Van Hove) показал, что достаточно предположить случайность фаз лишь для начального момента времени. Для вывода О. к. у. существенны макроскопич. размеры системы, то есть наличие большого числа степеней свободы. Математически это выражается предельным переходом, при к-ром объем системы стремится к бесконечности (при фиксированном отношении объема к числу частиц) и приводит к возникновению так наз. диагональных сингулярностей в матричных элементах энергии возмущения. Строгий вывод О. к. у. возможен в пределе $t \rightarrow \infty, \lambda \rightarrow 0$ при $\lambda^{2} t=$ $=$ const. Наиболее прост вывод О. к. у. с помощью метода проекционных операторов. В общем случае вероятность $P_{n}(t)$ зависит от предшествующей истории (эффект памяти) и О. к. у. имеет вид \[ \frac{d P_{n}(t)}{d t}=\int_{-\infty}^{t} \sum_{m}\left[w_{n m}(t-\tau) P_{m}(\tau)-w_{m n}(t-\tau) P_{n}(\tau)\right] d \tau, \] где $w_{n m}(t-\tau)-$ функция памяти. Для непрерывно распределенных случайных переменных $x$ О. к. у. для плотности вероятности $W(x, t)$ имеет форму интегрального уравнения: \[ \frac{\partial W(x, t)}{d t}=\int\left[w\left(x, x^{\prime}\right) W\left(x^{\prime}, t\right)-w\left(x^{\prime}, x\right) W(x, t)\right] d x^{\prime} \] [w $\left(x, x^{\prime}\right)$ - плотность вероятности перехода $\left.x^{\prime} \rightarrow x\right]$. Метод О. к. у. применяется в теории магнитного резонанса, квантовой радиофизике и квантовой оптике.

уравнение для вероятности распределения квантовой системы по квантовым состояниям. Установлено В. Паули (W. Pauli, 1928). О. к. у. является квантовым кинетич. уравнением; иногда его называют управляющим уравнением, или уравнением Паули, из него можно вывести Больцмана кинетическое уравнение. О. к. у. для вероятности $P_{n}$ квантового состояния $n$ имеет вид \[ \frac{d P_{n}}{d t}=\sum_{m}\left(w_{n m} P_{m}-w_{m n} P_{n}\right), \] где $w_{n m}-$ вероятность перехода системы из квантового состояния $m$ в состояние $n$ в единицу времени под влиянием не зависящего от времени возмущения. Индексы $n, m$ соответствуют квантовым стационарным состояниям гамильтониана свободных частиц $H_{0}$, то есть многочастичным состояниям. Вероятность $P_{n}$ равна диагональному элементу плотности матрицы $\rho_{n n}$. О. к. у. описывает необратимый процесс приближения $\mathbf{K}$ статистич. равновесию систем со многими степенями свободы. Обычно предполагают, что оно вызывается возмущающим членом $\lambda V$ в гамильтониане $H=H_{0}+\lambda V(\lambda-$ параметр взаимодействия). Внешние поля предполагаются отсутствующими, возмущение считается малым. О. к. у. выводится из Лиувиля уравнения для матрицы плотности во втором приближении теории возмущений. Для изолированных систем вероятность прямого перехода равна вероятности обратного перехода: \[ w_{n m}=w_{m n}, \] так как \[ w_{m n}=2 \pi \lambda^{2} \hbar^{-1}\left|V_{m n}\right|^{2} \delta\left(\mathscr{E}_{m}-\mathscr{E}_{n}\right) \text {. } \] Для дискретных $\boldsymbol{m}, n \boldsymbol{\delta}$-функция переходит в символ Кронекера. Если динамич. подсистема взаимодействует с системой с большим числом степеней свободы, находящейся в состоянии статистич. равновесия (термостатом), то для получения вероятности распределения состояний в динамич. подсистеме нужно просуммировать распределение вероятностей в полной системе (удовлетворяющее О. к. у.) по квантовым состояниям термостата. В этом случае вероятность распределения по состояниям динамич. подсистемы также удовлетворяет О. к. у., но вероятность прямого перехода уже не равна вероятности обратного перехода, а удовлетворяет принципу детального равновесия: \[ w_{m n} / w_{n m}=\exp \left[-\left(\mathscr{E}_{n}-\mathscr{E}_{m}\right) / k T\right] \] $T$ - абсолютная температура, $m, n$ определяют теперь квантовые состояния динамич. подсистемы, соответствующие уровням энергии $\mathscr{E}_{m}$, $\mathscr{E}_{n}$. Наиболее простую форму имеет О. к. у. для одночастичных квантовых уровней системы. Тогда числа заполнения уровней $n_{k}$ удовлетворяют уравнению \[ \frac{d n_{k}}{d t}=\sum_{l}\left(w_{k l} n_{l}-w_{l k} n_{k}\right) \] $w_{k l}$ - вероятность перехода в единицу времени между одночастичными уровнями. О. к. у. позволяет ввести энтропию неравновесного квантового состояния: \[ S=-k \sum_{n} P_{n} \ln P_{n} \] к-рая монотонно возрастает, стремясь к равновесной при $t \rightarrow \infty$, то есть удовлетворяет квантовой $H$-теореме Больцмана. При выводе О. к. у. В. Паули использовал предположение о хаотичности фаз квантовых состояний (гипотеза молекулярного хаоса) в любой момент времени. Затем Л. Ван Хов (L. Van Hove) показал, что достаточно предположить случайность фаз лишь для начального момента времени. Для вывода О. к. у. существенны макроскопич. размеры системы, то есть наличие большого числа степеней свободы. Математически это выражается предельным переходом, при к-ром объем системы стремится к бесконечности (при фиксированном отношении объема к числу частиц) и приводит к возникновению так наз. диагональных сингулярностей в матричных элементах энергии возмущения. Строгий вывод О. к. у. возможен в пределе $t \rightarrow \infty, \lambda \rightarrow 0$ при $\lambda^{2} t=$ $=$ const. Наиболее прост вывод О. к. у. с помощью метода проекционных операторов. В общем случае вероятность $P_{n}(t)$ зависит от предшествующей истории (эффект памяти) и О. к. у. имеет вид \[ \frac{d P_{n}(t)}{d t}=\int_{-\infty}^{t} \sum_{m}\left[w_{n m}(t-\tau) P_{m}(\tau)-w_{m n}(t-\tau) P_{n}(\tau)\right] d \tau, \] где $w_{n m}(t-\tau)-$ функция памяти. Для непрерывно распределенных случайных переменных $x$ О. к. у. для плотности вероятности $W(x, t)$ имеет форму интегрального уравнения: \[ \frac{\partial W(x, t)}{d t}=\int\left[w\left(x, x^{\prime}\right) W\left(x^{\prime}, t\right)-w\left(x^{\prime}, x\right) W(x, t)\right] d x^{\prime} \] [w $\left(x, x^{\prime}\right)$ - плотность вероятности перехода $\left.x^{\prime} \rightarrow x\right]$. Метод О. к. у. применяется в теории магнитного резонанса, квантовой радиофизике и квантовой оптике.