ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА

формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между $n$-кратным интегралом по области и $1-1)$-кратным интегралом по ее границе. Пусть функции $i=X_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ вместе со своими частными производными $\partial X_{i} / \partial x_{i}, i=1,2, \ldots, n$, интегрируемы по Лебегу в ограниченной области $G \subset \mathbb{R}^{n}$, граница $\partial G$ к-рой является объединением конечного множества кусочно гладких (n-1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней нормали v. Тогда О.Ф. имеет вид: \[ \begin{gathered} \int \ldots \int_{G} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}} d x_{1} \ldots d x_{n}= \\ =\int \ldots \int_{\partial G} \sum_{i=1}^{n} X_{i} d x_{i+1} \ldots d x_{n} d x_{1} \ldots d x_{i-1} . \end{gathered} \] Если $\cos \alpha_{i}, i=1,2, \ldots, n,-$ направляющие косинусы внешних нормалей $\mathbf{v}$ гиперповерхностей, составляющих границу $\partial G$ области $G$, то формула (1) может быть записана в виде \[ \int \ldots \int_{G} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}} d v=\int \ldots \int_{\partial G} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \cos \alpha_{i} d \sigma \] (где $d v=d x_{1} \ldots d x_{n}$ - элемент $n$-мерного объема в $\mathbb{R}^{n}$, a $d \sigma-$ элемент $(n-1)$-мерного объема на $\partial G$. В терминах векторного поля $\boldsymbol{a}=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$ формулы (1) (2) означают равенство интеграла от дивергенции этого поля по области $G$ его потоку через границу области $G$ : \[ \int \cdots \int_{G} \operatorname{div} a d v=\int \cdots \int_{\partial G} a v d \sigma . \] Для гладких функций О.ф. была впервые получена в трехмерном случае М. В. Остроградским в 1828. На $n$-кратные интегралы в случае произвольного натурального $\boldsymbol{n} \mathbf{O} . \boldsymbol{\Phi}$. была обобщена им в 1834. При $n=3$ для одного частного случая О.Ф. была получена К. Гауссом (C. Gauss, 1813), поэтому иногда О. ф. называют также формулой Гаусса - Остроградского. Обобщением О.Ф. является также формула для многообразий с краем. Л. Д. Кудрявцев.

формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между $n$-кратным интегралом по области и $1-1)$-кратным интегралом по ее границе. Пусть функции $i=X_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ вместе со своими частными производными $\partial X_{i} / \partial x_{i}, i=1,2, \ldots, n$, интегрируемы по Лебегу в ограниченной области $G \subset \mathbb{R}^{n}$, граница $\partial G$ к-рой является объединением конечного множества кусочно гладких (n-1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней нормали v. Тогда О.Ф. имеет вид: \[ \begin{gathered} \int \ldots \int_{G} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}} d x_{1} \ldots d x_{n}= \\ =\int \ldots \int_{\partial G} \sum_{i=1}^{n} X_{i} d x_{i+1} \ldots d x_{n} d x_{1} \ldots d x_{i-1} . \end{gathered} \] Если $\cos \alpha_{i}, i=1,2, \ldots, n,-$ направляющие косинусы внешних нормалей $\mathbf{v}$ гиперповерхностей, составляющих границу $\partial G$ области $G$, то формула (1) может быть записана в виде \[ \int \ldots \int_{G} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}} d v=\int \ldots \int_{\partial G} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \cos \alpha_{i} d \sigma \] (где $d v=d x_{1} \ldots d x_{n}$ - элемент $n$-мерного объема в $\mathbb{R}^{n}$, a $d \sigma-$ элемент $(n-1)$-мерного объема на $\partial G$. В терминах векторного поля $\boldsymbol{a}=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$ формулы (1) (2) означают равенство интеграла от дивергенции этого поля по области $G$ его потоку через границу области $G$ : \[ \int \cdots \int_{G} \operatorname{div} a d v=\int \cdots \int_{\partial G} a v d \sigma . \] Для гладких функций О.ф. была впервые получена в трехмерном случае М. В. Остроградским в 1828. На $n$-кратные интегралы в случае произвольного натурального $\boldsymbol{n} \mathbf{O} . \boldsymbol{\Phi}$. была обобщена им в 1834. При $n=3$ для одного частного случая О.Ф. была получена К. Гауссом (C. Gauss, 1813), поэтому иногда О. ф. называют также формулой Гаусса - Остроградского. Обобщением О.Ф. является также формула для многообразий с краем. Л. Д. Кудрявцев.