ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС

явление потери устойчивости линейной гамильтоновой системой, зависящей от параметров, при периодическом изменении параметров во времени. Система, автономная и устойчивая при каждом фиксированном значении параметров, становится неустойчивой при периодич. изменении параметров подходящего периода и сколь угодно малой амплитуды. Для возникновения П. р. период изменения параметров должен быть таким, чтобы исходная автономная система, рассматриваемая как периодическая с этим периодом, имела два совпадающих мультипликатора (необходимо лежащих на единичной окружности ввиду устойчивости) и эти мультипликаторы были разного рода. Последнее означает, что при замене матрицы $A$ системы на матрицу $\lambda A$ и при изменении $\lambda$ мультипликаторы движутся по единичной окружности в разные стороны (см. [1]). Сколь угодно малым периодич. изменением коэффициентов системы можно добиться того, чтобы один из этих мультипликаторов оказался внутри единичного круга, а другой - вне его, то есть чтобы система стала неустойчивой. Напр., линейный осциллятор \[ \ddot{x}+(1+\varepsilon \sin \Omega t) x=0 \] неустойчив при малых $\varepsilon>0$, если выполнено условие П. p.: \[ \Omega=2 / k, k=1,2, \ldots \] Явление П. р. изучается в рамках общей теории потери устойчивости линейной гамильтоновой периодической по времени системой при малом возмущении ее матрицы (см. [1]).

явление потери устойчивости линейной гамильтоновой системой, зависящей от параметров, при периодическом изменении параметров во времени. Система, автономная и устойчивая при каждом фиксированном значении параметров, становится неустойчивой при периодич. изменении параметров подходящего периода и сколь угодно малой амплитуды. Для возникновения П. р. период изменения параметров должен быть таким, чтобы исходная автономная система, рассматриваемая как периодическая с этим периодом, имела два совпадающих мультипликатора (необходимо лежащих на единичной окружности ввиду устойчивости) и эти мультипликаторы были разного рода. Последнее означает, что при замене матрицы $A$ системы на матрицу $\lambda A$ и при изменении $\lambda$ мультипликаторы движутся по единичной окружности в разные стороны (см. [1]). Сколь угодно малым периодич. изменением коэффициентов системы можно добиться того, чтобы один из этих мультипликаторов оказался внутри единичного круга, а другой - вне его, то есть чтобы система стала неустойчивой. Напр., линейный осциллятор \[ \ddot{x}+(1+\varepsilon \sin \Omega t) x=0 \] неустойчив при малых $\varepsilon>0$, если выполнено условие П. p.: \[ \Omega=2 / k, k=1,2, \ldots \] Явление П. р. изучается в рамках общей теории потери устойчивости линейной гамильтоновой периодической по времени системой при малом возмущении ее матрицы (см. [1]).