ПАССИВНАЯ СИСТЕМА

физическая система, поглощающая и перераспределяющая энергию с учетом причинности относительно некоторого конуса. Пусть исходное возмущение $u(x)=\left(u_{1}(x), \ldots, u_{N}(x)\right)$ действует на физич. систему и в результате возникает ответный отклик системы $f(x)=\left(f_{1}(x), \ldots, f_{N}(x)\right)$. Под $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ понимаются временные, пространственные и другие переменные. Предположим выполненными условия: а) линейности: линейной комбинации возмушений системы отвечает линейная комбинация откликов; б) вещественности: вещественному возмущению отвечает вещественный отклик системы; в) непрерывности: если $u(x)$ стремится к нулю в пространстве $\mathscr{E}^{\prime}$ Шварца распределений с компактными носителями, то отклик $f(x)$ стремится к нулю в пространстве $D^{\prime}$ распределений Шварца; г) трансляционной инвариантности: для любого сдвига $h \in \mathbb{R}^{n}$ возмущению $u(x+h)$ отвечает отклик $f(x+h)$. Условия а)-г) эквивалентны существованию единственной $(N \times N)$-матрицы $Z(x)=\left\|Z_{i j}(x)\right\|, Z_{i j}(x) \in D^{\prime}$, К-рая связывает исходное возмущение и отклик системы формулой \[ Z(x)^{*} u(x)=f(x) . \] Пусть $\Gamma$ - замкнутый, выпуклый, острый, телесный конус в $\mathbb{R}^{n}$ с вершиной в нуле, а физич. система удовлетворяет еще условию: д) пассивности относительно конуса Г: \[ \operatorname{Re} \int_{-\Gamma}\left\langle Z(x)^{*} \varphi(x), \varphi(x)\right\rangle d x \geqslant 0 \] для любой вектор-функции $\varphi(x)=\left(\varphi_{1}(x), \ldots, \varphi_{N}(x)\right)$, компоненты к-рой $\varphi_{j}(x)$ - бесконечно дифференцируемые финитные функции в $\mathbb{R}^{n}$. Неравенство д) энергетич. типа. Оно отражает способность физич. системы поглощать и перераспределять (но не генерировать) энергию, учитывая причинность относительно конуса $\Gamma$. Физич. система, удовлетворяющая условиям а)-д), называется линейной П.с. относительно конуса $\Gamma$, сверточный оператор $Z^{*}$ называется пассивным оператором относительно конуса $\Gamma$, а соответствующая матрица-функция $\widetilde{Z}(\zeta)$ - преобразование Лапласа матрицы $Z(x)$ - импедансом физич. системы. Одномерные линейные П.с. $(n=1)$ описывают связь между токами и напряжениями в сложных электрич. цепях; линейные термодинамич. системы; рассеяние электромагнитных волн и элементарных частиц (см. [1], [2]). Многомерные линейные П. с. $(n \geqslant 2)$ описывают физич. процессы с учетом пространственно-временной динамики. К ним, напр., относятся уравнения Максвелла, Дирака, вращающейся жидкости и акустики, линеаризованная система уравнений магнитной гидродинамики, уравнения теории упругости, переноса нейтронов и излучения и многие другие. Теория многомерных линейных П.с. разработана В. С. Владимировым [3] на основе теории положительно-вещественных матриц-функций. О свойствах пассивных операторов, постановках задач, квазиасимптотич. свойствах фундаментальных решений и других вопросах см. [3], [4]. Лит.: [1] Zemanian A., Distribution theory and transform analysis, N.Y.-L., 1965; [2] Beltrami E., Wohlers M., Distribution and the boundary values of analytic functions, N.Y.-L., 1966; [3] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979; [4] Владимиров В. С., Дрожжинов Ю. Н., Завьялов Б. И., Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций, М., $1986 . \quad$ Ю. Н. Дрожжинов.

физическая система, поглощающая и перераспределяющая энергию с учетом причинности относительно некоторого конуса. Пусть исходное возмущение $u(x)=\left(u_{1}(x), \ldots, u_{N}(x)\right)$ действует на физич. систему и в результате возникает ответный отклик системы $f(x)=\left(f_{1}(x), \ldots, f_{N}(x)\right)$. Под $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ понимаются временные, пространственные и другие переменные. Предположим выполненными условия: а) линейности: линейной комбинации возмушений системы отвечает линейная комбинация откликов; б) вещественности: вещественному возмущению отвечает вещественный отклик системы; в) непрерывности: если $u(x)$ стремится к нулю в пространстве $\mathscr{E}^{\prime}$ Шварца распределений с компактными носителями, то отклик $f(x)$ стремится к нулю в пространстве $D^{\prime}$ распределений Шварца; г) трансляционной инвариантности: для любого сдвига $h \in \mathbb{R}^{n}$ возмущению $u(x+h)$ отвечает отклик $f(x+h)$. Условия а)-г) эквивалентны существованию единственной $(N \times N)$-матрицы $Z(x)=\left\|Z_{i j}(x)\right\|, Z_{i j}(x) \in D^{\prime}$, К-рая связывает исходное возмущение и отклик системы формулой \[ Z(x)^{*} u(x)=f(x) . \] Пусть $\Gamma$ - замкнутый, выпуклый, острый, телесный конус в $\mathbb{R}^{n}$ с вершиной в нуле, а физич. система удовлетворяет еще условию: д) пассивности относительно конуса Г: \[ \operatorname{Re} \int_{-\Gamma}\left\langle Z(x)^{*} \varphi(x), \varphi(x)\right\rangle d x \geqslant 0 \] для любой вектор-функции $\varphi(x)=\left(\varphi_{1}(x), \ldots, \varphi_{N}(x)\right)$, компоненты к-рой $\varphi_{j}(x)$ - бесконечно дифференцируемые финитные функции в $\mathbb{R}^{n}$. Неравенство д) энергетич. типа. Оно отражает способность физич. системы поглощать и перераспределять (но не генерировать) энергию, учитывая причинность относительно конуса $\Gamma$. Физич. система, удовлетворяющая условиям а)-д), называется линейной П.с. относительно конуса $\Gamma$, сверточный оператор $Z^{*}$ называется пассивным оператором относительно конуса $\Gamma$, а соответствующая матрица-функция $\widetilde{Z}(\zeta)$ - преобразование Лапласа матрицы $Z(x)$ - импедансом физич. системы. Одномерные линейные П.с. $(n=1)$ описывают связь между токами и напряжениями в сложных электрич. цепях; линейные термодинамич. системы; рассеяние электромагнитных волн и элементарных частиц (см. [1], [2]). Многомерные линейные П. с. $(n \geqslant 2)$ описывают физич. процессы с учетом пространственно-временной динамики. К ним, напр., относятся уравнения Максвелла, Дирака, вращающейся жидкости и акустики, линеаризованная система уравнений магнитной гидродинамики, уравнения теории упругости, переноса нейтронов и излучения и многие другие. Теория многомерных линейных П.с. разработана В. С. Владимировым [3] на основе теории положительно-вещественных матриц-функций. О свойствах пассивных операторов, постановках задач, квазиасимптотич. свойствах фундаментальных решений и других вопросах см. [3], [4]. Лит.: [1] Zemanian A., Distribution theory and transform analysis, N.Y.-L., 1965; [2] Beltrami E., Wohlers M., Distribution and the boundary values of analytic functions, N.Y.-L., 1966; [3] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979; [4] Владимиров В. С., Дрожжинов Ю. Н., Завьялов Б. И., Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций, М., $1986 . \quad$ Ю. Н. Дрожжинов.