ПАУЛИ УРАВНЕНИЕ

уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1/2 (например, электрона) во внешнем электромагнитном поле. Предложено В. Паули (W. Pauli, 1927). П. у. является обобщением Шредингера уравнения, учитывающим наличие у частицы собственного механич. момента импульса - спина. Частица со спином $1 / 2$ может находиться в двух различных спиновых состояниях с проекциями спина $+1 / 2$ и $-1 / 2$ на нек-рое (произвольно выбранное) направление, принимаемое обычно за ось $z$. В соответствии с этим волновая функция частицы $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ (где $\boldsymbol{r}-$ координата частицы, $t$ - время) является двухкомпонентной: \[ \psi(r, t)=\left\|\begin{array}{l} \psi_{1}(\boldsymbol{r}, t) \\ \psi_{2}(\boldsymbol{r}, t) \end{array}\right\| \] При поворотах координатных осей $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ преобразуются как компоненты спинора. В пространстве спинорных волновых функций скалярное произведение $\psi$ и $\psi^{\prime}$ имеет вид: \[ \left(\psi^{\prime}, \psi\right)=\int\left(\psi_{1}^{\prime *} \psi_{1}+\psi_{2}^{\prime *} \psi_{2}\right) d r \] операторы физич. величин являются $(2 \times 2)$-матрицами, к-рые для величин (наблюдаемых), не зависящих от спина, кратны единичной матрице. В силу общих законов электродинамики электрически заряженная система с отличным от нуля спиновым моментом $\boldsymbol{s}$ обладает и магнитным моментом, пропорциональным $s: \mu=g s(g-$ гиромагнитное отношение). Для орбитального момента $g=e / 2 m c$, где $e-$ заряд, $m-$ масса частицы; спиновое гиромагнитное отношение оказывается в два раза большим: $g=e / m c$. Во внешнем магнитном поле напряженности $\boldsymbol{B}$ магнитный момент обладает потенциальной энергией $U=-\mu \boldsymbol{B}$, добавление к-рой в гамильтониан $H$ электрона во внешнем электромагнитном поле с потенциалами $\varphi$ и $\boldsymbol{A}$ приводит к уравнению Паули: \[ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=H \psi ; \quad H=\frac{\left(p-\frac{e}{c} A\right)^{2}}{2 m} I-\frac{e \hbar}{2 m c}(\sigma B)+e \varphi I, \] где $\boldsymbol{p}$ - оператор импульса, $\boldsymbol{\sigma}$ - Паули матрицы [оператор спина $s=(\hbar / 2) \sigma]$. Предложенное первоначально на основе эвристич. соображений П. у. оказалось естественным следствием релятивистски-инвариантного Дирака уравнения в слаборелятивистском приближении, в к-ром учитываются лишь первые члены разложения по обратным степеням скорости света. Если напряженность внешнего магнитного поля не зависит от пространственных координат, то орбитальное движение частицы и изменение ориентации ее спина происходят независимо. Волновая функция при этом имеет вид $\psi(r, t)=\Phi(r, t) \chi(t)$, где $\Phi(r, t)-$ скалярная функция, под-  \[ i \hbar \frac{\partial \chi}{\partial t}=-\frac{e \hbar}{2 m c}(\sigma B) \chi . \] Из этого уравнения следует, что среднее значение спина $\langle s\rangle=\frac{\hbar}{2}(\chi+\sigma \chi) \quad$ прецессирует вокруг направления магнитного поля: \[ \frac{d}{d t}\langle s\rangle=-\omega_{B}[\boldsymbol{n}\langle\boldsymbol{s}\rangle] \] Здесь $\omega_{B}=e B / m c-$ циклотронная частота, $\boldsymbol{n}-$ единичный вектор вдоль магнитного поля. На основе П. у. может быть рассчитано расщепление уровней энергии электронов в атоме во внешнем магнитном поле с учетом спина (эффект Зеемана). Однако более тонкие релятивистские эффекты в атомах, обусловленные спином электрона, могут быть описаны лишь при учете более высоких членов разложения релятивистского уравнения Дирака по обратным степеням скорости света. Д. В. Гальцов.

уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1/2 (например, электрона) во внешнем электромагнитном поле. Предложено В. Паули (W. Pauli, 1927). П. у. является обобщением Шредингера уравнения, учитывающим наличие у частицы собственного механич. момента импульса - спина. Частица со спином $1 / 2$ может находиться в двух различных спиновых состояниях с проекциями спина $+1 / 2$ и $-1 / 2$ на нек-рое (произвольно выбранное) направление, принимаемое обычно за ось $z$. В соответствии с этим волновая функция частицы $\psi(\boldsymbol{r}, t)$ (где $\boldsymbol{r}-$ координата частицы, $t$ - время) является двухкомпонентной: \[ \psi(r, t)=\left\|\begin{array}{l} \psi_{1}(\boldsymbol{r}, t) \\ \psi_{2}(\boldsymbol{r}, t) \end{array}\right\| \] При поворотах координатных осей $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ преобразуются как компоненты спинора. В пространстве спинорных волновых функций скалярное произведение $\psi$ и $\psi^{\prime}$ имеет вид: \[ \left(\psi^{\prime}, \psi\right)=\int\left(\psi_{1}^{\prime *} \psi_{1}+\psi_{2}^{\prime *} \psi_{2}\right) d r \] операторы физич. величин являются $(2 \times 2)$-матрицами, к-рые для величин (наблюдаемых), не зависящих от спина, кратны единичной матрице. В силу общих законов электродинамики электрически заряженная система с отличным от нуля спиновым моментом $\boldsymbol{s}$ обладает и магнитным моментом, пропорциональным $s: \mu=g s(g-$ гиромагнитное отношение). Для орбитального момента $g=e / 2 m c$, где $e-$ заряд, $m-$ масса частицы; спиновое гиромагнитное отношение оказывается в два раза большим: $g=e / m c$. Во внешнем магнитном поле напряженности $\boldsymbol{B}$ магнитный момент обладает потенциальной энергией $U=-\mu \boldsymbol{B}$, добавление к-рой в гамильтониан $H$ электрона во внешнем электромагнитном поле с потенциалами $\varphi$ и $\boldsymbol{A}$ приводит к уравнению Паули: \[ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=H \psi ; \quad H=\frac{\left(p-\frac{e}{c} A\right)^{2}}{2 m} I-\frac{e \hbar}{2 m c}(\sigma B)+e \varphi I, \] где $\boldsymbol{p}$ - оператор импульса, $\boldsymbol{\sigma}$ - Паули матрицы [оператор спина $s=(\hbar / 2) \sigma]$. Предложенное первоначально на основе эвристич. соображений П. у. оказалось естественным следствием релятивистски-инвариантного Дирака уравнения в слаборелятивистском приближении, в к-ром учитываются лишь первые члены разложения по обратным степеням скорости света. Если напряженность внешнего магнитного поля не зависит от пространственных координат, то орбитальное движение частицы и изменение ориентации ее спина происходят независимо. Волновая функция при этом имеет вид $\psi(r, t)=\Phi(r, t) \chi(t)$, где $\Phi(r, t)-$ скалярная функция, под-  \[ i \hbar \frac{\partial \chi}{\partial t}=-\frac{e \hbar}{2 m c}(\sigma B) \chi . \] Из этого уравнения следует, что среднее значение спина $\langle s\rangle=\frac{\hbar}{2}(\chi+\sigma \chi) \quad$ прецессирует вокруг направления магнитного поля: \[ \frac{d}{d t}\langle s\rangle=-\omega_{B}[\boldsymbol{n}\langle\boldsymbol{s}\rangle] \] Здесь $\omega_{B}=e B / m c-$ циклотронная частота, $\boldsymbol{n}-$ единичный вектор вдоль магнитного поля. На основе П. у. может быть рассчитано расщепление уровней энергии электронов в атоме во внешнем магнитном поле с учетом спина (эффект Зеемана). Однако более тонкие релятивистские эффекты в атомах, обусловленные спином электрона, могут быть описаны лишь при учете более высоких членов разложения релятивистского уравнения Дирака по обратным степеням скорости света. Д. В. Гальцов.