ПЕНЛЕВЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ

Свойство обыкновенного дифференциального уравнения вида \[ w^{\prime \prime}=F\left(w^{\prime}, w, x\right), \] где функция $F$ рациональна по $w^{\prime}, w$ и локально аналитична по $x$, определяющего трансцендентную функцию Пенлеве $w=w(x)$, если уравнение не сводится к линейному и не имеет подвижных критических особых точек, то есть зависящих от произвольной постоянной, точек ветвления и существенно особых точек. Такие уравнения (обладающие Пенлеве свойством) приводятся к шести канонич. типам (см. Пенлеве уравнения); все они гамильтоновы и имеют коммутационное представление типа лаксовой пары. Важную роль играют асимптотич. представления в окрестности существенно особых точек решений этих шести канонич. типов уравнений Пенлеве в терминах их первых интегралов, в качестве к-рых выступают данные монодромии вспомогательной линейной системы, коэффициентами к-рой являются функции Пенлеве и их производные. Решение прямой и обратной задачи теории монодромии для такой линейной системы эквивалентно построению интегрального представления функции Пенлеве. Данные монодромии вычисляются явным образом по параметрам асимптотик, что позволяет получить явные формулы связи асимптотик в различных существенно особых точках или в различных областях вблизи одной особой точки. Лит.: [1] Айнс Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Харьков, 1939; [2] Its A. R., Novokshenov V. Yu., «Lecture Notes Math.», v. 1191, B., 1986. В. Ю. Новокшенов.

Свойство обыкновенного дифференциального уравнения вида \[ w^{\prime \prime}=F\left(w^{\prime}, w, x\right), \] где функция $F$ рациональна по $w^{\prime}, w$ и локально аналитична по $x$, определяющего трансцендентную функцию Пенлеве $w=w(x)$, если уравнение не сводится к линейному и не имеет подвижных критических особых точек, то есть зависящих от произвольной постоянной, точек ветвления и существенно особых точек. Такие уравнения (обладающие Пенлеве свойством) приводятся к шести канонич. типам (см. Пенлеве уравнения); все они гамильтоновы и имеют коммутационное представление типа лаксовой пары. Важную роль играют асимптотич. представления в окрестности существенно особых точек решений этих шести канонич. типов уравнений Пенлеве в терминах их первых интегралов, в качестве к-рых выступают данные монодромии вспомогательной линейной системы, коэффициентами к-рой являются функции Пенлеве и их производные. Решение прямой и обратной задачи теории монодромии для такой линейной системы эквивалентно построению интегрального представления функции Пенлеве. Данные монодромии вычисляются явным образом по параметрам асимптотик, что позволяет получить явные формулы связи асимптотик в различных существенно особых точках или в различных областях вблизи одной особой точки. Лит.: [1] Айнс Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Харьков, 1939; [2] Its A. R., Novokshenov V. Yu., «Lecture Notes Math.», v. 1191, B., 1986. В. Ю. Новокшенов.