ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ АВТОНОМНОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (НЕ ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ВРЕМЕНИ)

функция $F$ в фазовом пространстве $M$ этого уравнения, постоянная на фазовых кривых. Поверхности уровня $\{F=$ const $\}$ П. и. суть инвариантные множества уравнения. Напр., если гамильтониан какой-нибудь гамильтоновой системы не зависит от времени, то он является П. и. этой системы. Зависящий от времени П. и. обыкновенного дифференциального уравнения (вообще говоря, неавтономного) функция $F$ в расширенном фазовом пространстве $M \times \mathbb{R}$ этого уравнения, постоянная на интегральных кривых (графиках решений). Непрерывно дифференцируемая функция $F(x, t)$ является П. и. уравнения \[ \frac{d x}{d t}=V(x, t) \] тогда и только тогда, когда ее производная вдоль решений этого уравнения тождественно равна нулю, то есть \[ \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x} V \equiv 0 \] Непостоянный гладкий П. и. позволяет понизить порядок уравнения (размерность фазового пространства) на единицу. Отсюда происхождение термина «П.и.»- «первый шаг к решению (интегрированию)». П о л н о й с и с те м о й первых интегралов уравнения называется такой набор $F_{i}$ П. и. этого уравнения, что любой другой П. и. $F$ является функцией от $F_{i}$.

функция $F$ в фазовом пространстве $M$ этого уравнения, постоянная на фазовых кривых. Поверхности уровня $\{F=$ const $\}$ П. и. суть инвариантные множества уравнения. Напр., если гамильтониан какой-нибудь гамильтоновой системы не зависит от времени, то он является П. и. этой системы. Зависящий от времени П. и. обыкновенного дифференциального уравнения (вообще говоря, неавтономного) функция $F$ в расширенном фазовом пространстве $M \times \mathbb{R}$ этого уравнения, постоянная на интегральных кривых (графиках решений). Непрерывно дифференцируемая функция $F(x, t)$ является П. и. уравнения \[ \frac{d x}{d t}=V(x, t) \] тогда и только тогда, когда ее производная вдоль решений этого уравнения тождественно равна нулю, то есть \[ \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x} V \equiv 0 \] Непостоянный гладкий П. и. позволяет понизить порядок уравнения (размерность фазового пространства) на единицу. Отсюда происхождение термина «П.и.»- «первый шаг к решению (интегрированию)». П о л н о й с и с те м о й первых интегралов уравнения называется такой набор $F_{i}$ П. и. этого уравнения, что любой другой П. и. $F$ является функцией от $F_{i}$.