ПЕРЕНОРМИРОВКА В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

процедура устранения ультрафиолетовых расходимостей, которые возникают при разложении квантовополевых величин в формальные степенные ряды по константе связи в рамках метода теории возмущений. В каждом порядке теории возмущений квантовополевые величины представляют собой сумму диаграмм (амплитуд) Фейнмана. Если выразить диаграмму Фейнмана через фейнмановский интеграл по петлевым 4-мерным импульсам, то ультрафиолетовые расходимости проявятся в виде его расходимости в области больших импульсов. Если же определять фейнмановскую диаграмму в координатном пространстве (то есть преобразование Фурье от фейнмановской диаграммы в импульсном пространстве), то задача сведется к определению произведения пропагаторов (причинных функций свободных полей) \[ \prod_{l} D_{l}\left(x_{\pi_{+}(l)}-x_{\pi_{-}(l)}\right) \] (произведение берется по всем линиям диаграммы; $\pi_{+}(l)$ и $\pi_{-}(l)$ - соответственно начало и конец линии $l ; x_{i}-4-$ мерные пространственно-временные координаты). Такой объект оказывается некорректно определенным, поскольку сомножители являются обобщенными функциями, причем их поверхности сингулярности пересекаются. Это произведение однозначно определено по крайней мере всюду, кроме точек, где совпадают нек-рые из координат $x_{i}$. П. можно, таким образом, охарактеризовать как продолжение функционала на всю область изменения координат. Математич. основы теории П. заложены в середине 50-х гг. Н. Н. Боголюбовым и О. С. Парасюком. П. на диаграммном уровне, то есть в применении к диаграммам Фейнмана, называется также $R$-о п е р а ц и е й. Центральным пунктом теории перенормировок является те о ре м а Боголюбова - Парасюка, к-рая утверждает, что действие $R$-операции на произвольную фейнмановскую амплитуду дает конечный результат. Основное физич. требование, предъявляемое к П., состоит в том, что она должна описываться переопределением (перенормировкой) параметров исходного лагранжиана рассматриваемой теории. Напр., в скалярной $\varphi^{4}$-теории с лагранжианом \[ \mathscr{L}=(\partial \varphi)^{2} / 2-m^{2} \varphi^{2} / 2-\frac{1}{4 !} g \varphi^{4} \] П. эквивалентна переходу к перенормированному лагранжиану \[ \mathscr{L}^{\text {ren }}=\frac{1}{2} Z_{2}(\partial \varphi)^{2}-\frac{1}{2} Z_{m^{2}} m^{2} \varphi^{2}-\frac{1}{4 !} Z_{1} g \varphi^{4}, \] то есть введению в исходный лагранжиан $\mathscr{L}$ дополнительных слагаемых (контрчленов) с коэффициентами \[ \delta Z_{2}=Z_{2}-1, \quad \delta Z_{m^{2}}=Z_{m^{2}}-1, \quad \delta Z_{1}=Z_{1}-1 . \] Эти коэффициенты представляются в виде суммы вкладов от соответствующих диаграммных контрчленов, к-рые устраняют расходимости из отдельных фейнмановских интегралов. По отношению к характеру П. квантовополевые модели подразделяются на перенормируемые и неперенормируемые. Теория называется перенормируемой, если для ее П. в лагранжиан достаточно добавлять контрчлены с той же операторной структурой, что и в исходном лагранжиане. Если же приходится добавлять контрчлены новых типов, теория называется неперенормируемой. В этом случае теория фактически не допускает корректной процедуры квантования. Перенормируемыми оказываются практически все теории с безразмерными константами взаимодействия, напр. $\varphi^{4}$-теория, квантовая электродинамика и квантовая хромодинамика. Массивные векторные поля, вообще говоря, могут привести к неперенормируемости. Однако с помощью спонтанного нарушения симметрии, основанного на так наз. механизме Хиггса, удается построить перенормируемую теорию с массивными векторными бозонами. Таким образом, процедура П. в любой перенормируемой теории фиксируется конечным числом контрчленов, коэффициенты в к-рых представляют собой константы П. волновых функций, масс и П. констант взаимодействия. Напр., в квантовой электродинамике П. сводится к замене первоначальной («затравочной», или «голой») массы электрона $m_{0}$ и квадрата первоначальной константы взаимодействия $\alpha_{0}$ на перенормированные значения $m=m_{0}+\delta m=Z_{m} m_{0}$ и $\alpha=\alpha_{0}+\delta \alpha=Z_{\alpha} \alpha_{0}$, к-рые отождествляются с экспериментально наблюдаемыми значениями: массой электрона и постоянной тонкой структуры, приблизительно равной $1 / 137$. Чтобы сделать фейнмановскую амплитуду конечной, нужно устранить «ее собственную» расходимость, а также все внутренние расходимости, связанные с расходяшимися подграфами, то есть для к-рых индекс расходимости неотрицателен (см. Ультрафиолетовые расходимости). Достаточно устранять расходимости из сильно связных (одночастично неприводимых) подграфов. Устранение расходимости в сильно связном подграфе означает доопределение произведения пропагаторов в точках совпадения координат, соответствующих вершинам данного подграфа. Поэтому процедура устранения расходимости описывается добавлением к исходному произведению пропагаторов \[ \prod_{l} D_{l}\left(x_{\pi_{+}(l)}-x_{\pi_{-}(l)}\right) \] слагаемых, сосредоточенных в этих точках, то есть произве-  Для того чтобы удаление ультрафиолетовых расходимостей сводилось к переопределению параметров лагранжиана, нужно применять $R$-операцию, обладающую следующей структурой: \[ R_{\Gamma}=\sum_{\Im} \Delta(\Im) \equiv R_{\Gamma}^{\prime}+\Delta(\Gamma) \] В (2) производится суммирование по множествам $®=\left\{\gamma^{i}\right\}$ попарно непересекающихся расходящихся подграфов данного графа $\Gamma$, а граф называется расход я и м я, если его индекс расходимости \[ \omega=4 \Re-2 L+\sum_{l} n_{l} \] неотрицателен (здесь $\Re$ и $L$ - соответственно число петель и линий, а $n_{l}$ - степень полинома $P_{l}$ в числителе пропаraтopa \[ D_{l}(q)=\frac{P_{l}(q)}{m_{l}^{2}-q^{2}-i 0} \] соответствующего $l$-й линии). Кроме того, $R_{\Gamma}^{\prime}-$ это « $R$-операция без последнего вычитания», а $\Delta(\circledast)-$ контрчленные операции. Действуя на фейнмановскую амплитуду $G_{\Gamma}$, операция $\Delta(\circledast)$ превращает ее в фейнмановскую амплитуду для редуцированного графа $\Gamma / \cup_{i} \gamma^{i}$ (он получается из Г стягиванием каждого из подграфов $\gamma^{i}$ в точку), причем вершинам, в к-рые стянулись подграфы $\gamma^{i}$, сопоставляются полиномиальные по импульсам факторы («диаграммные» контрчлены). Локальность контрчленов позволяет в конечном счете связать «диаграммные контрчлены с контрчленами лагранжиана. Напр., в теории $\varphi^{4}$ контрчлены собственно-энергетич. графов (см. Фейнмана диаграмма) дают вклад в контрчлены $\delta Z_{2}$ и $\delta Z_{m}^{2}$ в лагранжиане (1), а контрчлены графов вершинного типа - в $\delta Z_{1}$. Контрчленные операции задаются рекуррентными соотношениями \[ \Delta(\mathscr{S})= \begin{cases}1, & \text { если } \mathscr{S}=\varnothing, \\ \prod_{i} \Delta\left(\gamma^{i}\right), \text { если } \mathscr{\Theta}=\left\{\gamma^{1}, \ldots, \gamma^{i}, \ldots\right\},\end{cases} \] где \[ \Delta(\gamma)= \begin{cases}-M_{\gamma} R_{\gamma}^{\prime} & - \text { сильно связный подграф, } \\ 0 & \text { - остальных случаях }\end{cases} \] - контрчленные операции для подграфов, а $M_{\gamma}$ - нек-рый вычитающий оператор, выбор к-рого фиксирует перенормировочную схему. Обычно перенормировочная схема описывает нек-рый класс $R$-операций, характеризующийся значениями одного или нескольких параметров. Среди «множества» перенормировочных схем можно выделить два основных подмножества: схемы, основанные на вычитаниях по импульсам, и схемы с вычитаниями полюсов по комплексным параметрам регуляризации. Если для схем первого вида регуляризацию можно и не вводить, то определение какой-либо схемы второго вида основано на вполне конкретной регуляризации (см. Ультрафиолетовая расходимость). Вычитающий оператор, по крайней мере, должен обеспечивать локальность контрчленных операций. Это требование автоматически выполняется в схемах с вычитаниями по импульсам. Простейшим вариантом такой перенормировочной схемы является $R$-операция Боголюбова-Парасюка, к-рая основана на вычитающем операторе, выделяющем несколько первых членов разложения фейнмановского интеграла в ряд Тейлора при нулевых импульсах. Перенормировка Боголюбова - Парасюка в своем первоначальном виде неприменима в теориях с безмассовыми частицами, поскольку в этом случае вычитания при нулевых импульсах порождают инфракрасные расходимости. Существует несколько вариантов ее обобщения для теорий, включающих безмассовые частицы. Они основаны на введении в контрчлены нек-рого массивного параметра, предупреждающего возникновение инфракрасных расходимостей. Напр., тейлоровские вычитания можно производить не при нулевых импульсах, а в нек-рой точке евклидовых импульсов. Еще один вариант схемы с вычитаниями по импульсам - П. на массовой поверхности, то есть при $q^{2}=m_{\text {физ }}^{2}$, где $m_{\text {физ }}-$ наблюдаемая масса частицы. Эта схема характеризуется нормировочными условиями \[ \left.\Sigma\left(q^{2}, m^{2}\right)\right|_{q^{2}=m_{\text {физ }}^{2}}=0,\left.\quad \frac{\partial}{\partial q^{2}} \Sigma\left(q^{2}, m^{2}\right)\right|_{q^{2}=m_{\text {физ }}^{2}}=0, \] налагаемыми на вклад $\Sigma\left(q^{2}, m^{2}\right)$ сильно связных собственно-энергетич. диаграмм. К перенормировочным схемам с использованием комплексных параметров регуляризации относятся а на л и т ическая и размерная перенормировки. Вычитающий оператор для аналитич. П. выделяет полюсную часть разложения в ряд Лорана по параметру аналитич. регуляризации. Аналогичным образом вычитающий оператор для размерной П. выделяет полюсы по параметру $\varepsilon=(4-d) / 2$, характеризующему отклонение параметра размерной регуляризации от физич. значения $d=4$. Следует подчеркнуть, что величины $\Delta(\gamma) G_{\Gamma}, M_{\gamma} G_{\Gamma}$, как и сами неперенормированные фейнмановские амплитуды, имеют смысл лишь при наличии регуляризации (напр., размерной), а в перенормированных фейнмановских амплитудах можно уже перейти к физич. значениям регуляризующих параметров, то есть снять регуляризацию. Хотя все перенормировочные схемы физически эквивалентны, выбор какой-то конкретной из них может предоставить существенные преимущества. Напр., в калибровочных теориях целесообразно применять П. (и регуляризацию), совместную с калибровочной инвариантностью, в частности размерную П. Соотношения (2)-(4) рекурсивно определяют $R$-операцию через вычитающий оператор. Явное разрешение этих рекуррентных соотношений дает так наз. лесная формула (см. Боголюбова-Парасюка R-операция). П. производится не только в матрице рассеяния \[ S=R T \exp \left(i \int \mathscr{L}_{\text {int }}(y) d y\right) \] (здесь $\mathscr{L}_{\text {int }}-$ лагранжиан взаимодействия, $T$ - символ хронологич. упорядочения, $R$ - нек-рая $R$-операция; подразумевается отсутствие вклада вакуумных диаграмм), но и в составных операторах (полях) - объектах, к-рые участвуют в уравнениях движения и тождествах Уорда-Славнова, позволяя тем самым выразить фундаментальные свойства квантовополевой теории. Составной оператор $J(x)$ задается нек-рым полиномом $j(x)$ по полям и их производных. Его разложение по диаграммам Фейнмана можно получить из представления \[ J(x)=R T \exp \left(i \int \mathscr{L}_{\text {int }}(y) d y\right) j(x) . \] В этих диаграммах помимо вершин, тип к-рых определяется лагранжианом взаимодействия, содержится одна специальная вершина (она всегда внешняя), связанная с составным оператором. Обычно выбирают нек-рый базис составных операторов $\left\{J_{i}(x)\right\}$, заданный своими прообразами полиномами $j_{i}(x)$. П. составных операторов задается соотношением \[ J_{i}(x)=\sum_{k} Z_{i k} J_{k}^{B}(x) \] Здесь $Z_{i k}$ - матрица П. составных операторов, а $J_{k}^{B}(x)-$ составные операторы, в к-рых устранены все ультрафиолетовые расходимости, за исключением расходимостей, связанных с вершиной $x$. Устранение ультрафиолетовых расходимостей содержит конечный произвол. Если задана нек-рая перенормировочная процедура, то из нее можно получить любые другие схемы, добавляя к контрчленам конечные (при снятии регуляризации) слагаемые. Точнее говоря, для этого можно изменить заданный вычитающий оператор $M_{\gamma}$ на $M_{\gamma}-P_{\gamma}$, где $P_{\gamma}$ - оператор конечной П. Оператор $P_{\gamma}$ при действии на фейнмановскую амплитуду $G_{\Gamma}$ превращает ее в фейнмановскую амплитуду $G_{\Gamma / \gamma}$, в к-рой редуцированной вершине сопоставлен нек-рый конечный полином по импульсам. На лагранжевом уровне изменение перенормировочной процедуры означает перегруппировку слагаемых за счет перебрасывания членов между основной и контрчленной частями лагранжиана (в $\varphi^{4}$-теории - это, соответственно, \[ \mathscr{L}_{\mathrm{OCH}}=(\partial \varphi)^{2} / 2-m^{2} \varphi^{2} / 2-g \varphi^{4} / 4 \text { ! } \] и \[ \left.\mathscr{L}_{\mathrm{K \Psi}}=\delta Z_{2}(\partial \varphi)^{2} / 2-\delta m^{2} \varphi^{2} / 2-\delta g \varphi^{4} / 4 !\right) . \] Совокупность этих преобразований образует группу, к-рая называется ренормализационной группой. На множестве параметров лагранжиана эта группа действует мультипликативно: $m \rightarrow z_{m} m, g \rightarrow z_{g} g$ и т. д. Наблюдаемые физич. величины не зависят от выбора перенормировочных предписаний, то есть являются инвариантными относительно ренормгрупповых преобразований. Таким образом, изменение перенормировочной схемы не меняет теории, а лишь означает переход к другой ее параметризации. Обычно выделяют какую-нибудь однопараметрич. подгруппу ренормгрупповых преобразований. Напр., в рамках размерной П. эта подгруппа характеризуется параметром $\mu$ размерности массы. Таким образом, каждому значению $\mu$ соответствуют нек-рые значения масс и констант связи рассматриваемой теории. В результате естественным образом определяются массы $m_{i}(\mu)$ и константы связи $g_{i}(\mu)$. Эти параметры называются эффекти вным и, или бе гу щ и м и, и зависят от рассматриваемого масштаба энергий. Основу математич. аппарата метода ренормализационной группы составляют функциональные и дифференциальные ренормгрупповые уравнения. Напр., для эффективной константы связи $\bar{g}\left(Q / \mu^{2}, g_{\mu}\right)$, к-рая в рамках теории возмущений может определяться за счет нормировки в разных точках $\mu$ (где она принимает значение $g_{\mu}$ ) и тем не менее не должна зависеть от выбора этой точки, функциональное ренормгрупповое уравнение имеет вид \[ \bar{g}(x, g)=\bar{g}(x / t, \bar{g}(t, g)) \] Из уравнения (6) можно получить различного рода дифференциальные уравнения, напр. \[ x \frac{\partial \bar{g}(x, g)}{\partial x}=\beta(\bar{g}(x, g)) . \] Здесь $\beta(g)$ - так наз. бета-функция, к-рая выражается через решение уравнения (6) соотношением $\beta(g)=\left.\frac{\partial \bar{g}(x, g)}{\partial x}\right|_{x=1}$. На практике это дифференциальное ренормгрупповое уравне-  вычисляется через эффективную константу связи в первых порядках теории возмущений, а затем ренормгрупповое уравнение (7) решается с найденной $\beta$-функцией. В результате для эффективной константы связи получается ренорминвариантное выражение, к-рое в заданном порядке теории возмущений совпадает с исходным приближением. Если в  приближении, то за счет такой процедуры фактически осуществляется суммирование членов вида $\left(\alpha \ln Q^{2} / \mu^{2}\right)^{n}$, дающих вклад в асимптотич. поведение функции Грина при больших переданных импульсах $Q$. Напр., в квантовой электродинамике в однопетлевом приближении квадрат эффективной константы связи $\bar{\alpha}$ равен \[ \bar{\alpha}^{(1)}(x, \alpha)=\alpha+\frac{\alpha^{2}}{3 \pi} \ln x, \] что дает выражение \[ \beta(\alpha)=\alpha^{2} / 3 \pi \]  го ренормгруппового уравнения (7) приводит к результату \[ \bar{\alpha}(x, \alpha)=\frac{\alpha}{1-\frac{\alpha}{3 \pi} \ln x} . \] Аналогичным образом однопетлевое приближение в квантовой хромодинамике дает для эффективной константы взаимодействия следующее выражение: \[ \bar{\alpha}_{s}(x, \alpha)=\frac{\alpha_{s}}{1+\alpha_{s} x \ln x}, \] где $x=(33-2 n) / 12 \pi$, a $n-$ число сортов различных кварков. Если эффективная константа связи стремится $\mathbf{K}$ нулю при больших значениях импульсов (то есть на малых расстояниях), то теория называется ас имптотически свободн о й. В этом случае теория возмущений оказывается применимой для описания физики малых расстояний, поскольку эффективный параметр разложения становится малым. Явное выражение (9) показывает, что квантовая хромодинамика обладает асимптотич. свободой, причем учет следующих порядков теории возмущений не изменяет этого свойства. Напротив, в квантовой электродинамике эффективная константа связи (8) является возрастающей. Однако из-за малости низкоэнергетич. параметра разложения \[ \left.\alpha_{\text {физ }} \equiv \bar{\alpha}\left(Q^{2}\right)\right|_{Q^{2}=0} \cong 1 / 137 \] можно применять теорию возмущений, так как возрастание эффективной константы связи происходит при экспериментально недоступных энергиях. Более того, квантовоэлектродинамич. расчеты по теории возмущений находятся в прекрасном согласии с экспериментальными данными. Метод ренормализационной группы был развит в середине 50-х гг. Э. Штюкельбергом (E. Stueckelberg) и А. Петерманом (A. Peterman), М. Гелл-Маном (M. Gell-Mann) и Ф. Лоу (F. Low), Н. Н. Боголюбовым и Д. В. Ширковым. Помимо квантовой теории поля этот метод стал успешно применяться в статистич. физике, а также в нек-рых разделах физики, изучающих не только микроскопич., но и макроскопич. процессы.

процедура устранения ультрафиолетовых расходимостей, которые возникают при разложении квантовополевых величин в формальные степенные ряды по константе связи в рамках метода теории возмущений. В каждом порядке теории возмущений квантовополевые величины представляют собой сумму диаграмм (амплитуд) Фейнмана. Если выразить диаграмму Фейнмана через фейнмановский интеграл по петлевым 4-мерным импульсам, то ультрафиолетовые расходимости проявятся в виде его расходимости в области больших импульсов. Если же определять фейнмановскую диаграмму в координатном пространстве (то есть преобразование Фурье от фейнмановской диаграммы в импульсном пространстве), то задача сведется к определению произведения пропагаторов (причинных функций свободных полей) \[ \prod_{l} D_{l}\left(x_{\pi_{+}(l)}-x_{\pi_{-}(l)}\right) \] (произведение берется по всем линиям диаграммы; $\pi_{+}(l)$ и $\pi_{-}(l)$ - соответственно начало и конец линии $l ; x_{i}-4-$ мерные пространственно-временные координаты). Такой объект оказывается некорректно определенным, поскольку сомножители являются обобщенными функциями, причем их поверхности сингулярности пересекаются. Это произведение однозначно определено по крайней мере всюду, кроме точек, где совпадают нек-рые из координат $x_{i}$. П. можно, таким образом, охарактеризовать как продолжение функционала на всю область изменения координат. Математич. основы теории П. заложены в середине 50-х гг. Н. Н. Боголюбовым и О. С. Парасюком. П. на диаграммном уровне, то есть в применении к диаграммам Фейнмана, называется также $R$-о п е р а ц и е й. Центральным пунктом теории перенормировок является те о ре м а Боголюбова - Парасюка, к-рая утверждает, что действие $R$-операции на произвольную фейнмановскую амплитуду дает конечный результат. Основное физич. требование, предъявляемое к П., состоит в том, что она должна описываться переопределением (перенормировкой) параметров исходного лагранжиана рассматриваемой теории. Напр., в скалярной $\varphi^{4}$-теории с лагранжианом \[ \mathscr{L}=(\partial \varphi)^{2} / 2-m^{2} \varphi^{2} / 2-\frac{1}{4 !} g \varphi^{4} \] П. эквивалентна переходу к перенормированному лагранжиану \[ \mathscr{L}^{\text {ren }}=\frac{1}{2} Z_{2}(\partial \varphi)^{2}-\frac{1}{2} Z_{m^{2}} m^{2} \varphi^{2}-\frac{1}{4 !} Z_{1} g \varphi^{4}, \] то есть введению в исходный лагранжиан $\mathscr{L}$ дополнительных слагаемых (контрчленов) с коэффициентами \[ \delta Z_{2}=Z_{2}-1, \quad \delta Z_{m^{2}}=Z_{m^{2}}-1, \quad \delta Z_{1}=Z_{1}-1 . \] Эти коэффициенты представляются в виде суммы вкладов от соответствующих диаграммных контрчленов, к-рые устраняют расходимости из отдельных фейнмановских интегралов. По отношению к характеру П. квантовополевые модели подразделяются на перенормируемые и неперенормируемые. Теория называется перенормируемой, если для ее П. в лагранжиан достаточно добавлять контрчлены с той же операторной структурой, что и в исходном лагранжиане. Если же приходится добавлять контрчлены новых типов, теория называется неперенормируемой. В этом случае теория фактически не допускает корректной процедуры квантования. Перенормируемыми оказываются практически все теории с безразмерными константами взаимодействия, напр. $\varphi^{4}$-теория, квантовая электродинамика и квантовая хромодинамика. Массивные векторные поля, вообще говоря, могут привести к неперенормируемости. Однако с помощью спонтанного нарушения симметрии, основанного на так наз. механизме Хиггса, удается построить перенормируемую теорию с массивными векторными бозонами. Таким образом, процедура П. в любой перенормируемой теории фиксируется конечным числом контрчленов, коэффициенты в к-рых представляют собой константы П. волновых функций, масс и П. констант взаимодействия. Напр., в квантовой электродинамике П. сводится к замене первоначальной («затравочной», или «голой») массы электрона $m_{0}$ и квадрата первоначальной константы взаимодействия $\alpha_{0}$ на перенормированные значения $m=m_{0}+\delta m=Z_{m} m_{0}$ и $\alpha=\alpha_{0}+\delta \alpha=Z_{\alpha} \alpha_{0}$, к-рые отождествляются с экспериментально наблюдаемыми значениями: массой электрона и постоянной тонкой структуры, приблизительно равной $1 / 137$. Чтобы сделать фейнмановскую амплитуду конечной, нужно устранить «ее собственную» расходимость, а также все внутренние расходимости, связанные с расходяшимися подграфами, то есть для к-рых индекс расходимости неотрицателен (см. Ультрафиолетовые расходимости). Достаточно устранять расходимости из сильно связных (одночастично неприводимых) подграфов. Устранение расходимости в сильно связном подграфе означает доопределение произведения пропагаторов в точках совпадения координат, соответствующих вершинам данного подграфа. Поэтому процедура устранения расходимости описывается добавлением к исходному произведению пропагаторов \[ \prod_{l} D_{l}\left(x_{\pi_{+}(l)}-x_{\pi_{-}(l)}\right) \] слагаемых, сосредоточенных в этих точках, то есть произве-  Для того чтобы удаление ультрафиолетовых расходимостей сводилось к переопределению параметров лагранжиана, нужно применять $R$-операцию, обладающую следующей структурой: \[ R_{\Gamma}=\sum_{\Im} \Delta(\Im) \equiv R_{\Gamma}^{\prime}+\Delta(\Gamma) \] В (2) производится суммирование по множествам $®=\left\{\gamma^{i}\right\}$ попарно непересекающихся расходящихся подграфов данного графа $\Gamma$, а граф называется расход я и м я, если его индекс расходимости \[ \omega=4 \Re-2 L+\sum_{l} n_{l} \] неотрицателен (здесь $\Re$ и $L$ - соответственно число петель и линий, а $n_{l}$ - степень полинома $P_{l}$ в числителе пропаraтopa \[ D_{l}(q)=\frac{P_{l}(q)}{m_{l}^{2}-q^{2}-i 0} \] соответствующего $l$-й линии). Кроме того, $R_{\Gamma}^{\prime}-$ это « $R$-операция без последнего вычитания», а $\Delta(\circledast)-$ контрчленные операции. Действуя на фейнмановскую амплитуду $G_{\Gamma}$, операция $\Delta(\circledast)$ превращает ее в фейнмановскую амплитуду для редуцированного графа $\Gamma / \cup_{i} \gamma^{i}$ (он получается из Г стягиванием каждого из подграфов $\gamma^{i}$ в точку), причем вершинам, в к-рые стянулись подграфы $\gamma^{i}$, сопоставляются полиномиальные по импульсам факторы («диаграммные» контрчлены). Локальность контрчленов позволяет в конечном счете связать «диаграммные контрчлены с контрчленами лагранжиана. Напр., в теории $\varphi^{4}$ контрчлены собственно-энергетич. графов (см. Фейнмана диаграмма) дают вклад в контрчлены $\delta Z_{2}$ и $\delta Z_{m}^{2}$ в лагранжиане (1), а контрчлены графов вершинного типа - в $\delta Z_{1}$. Контрчленные операции задаются рекуррентными соотношениями \[ \Delta(\mathscr{S})= \begin{cases}1, & \text { если } \mathscr{S}=\varnothing, \\ \prod_{i} \Delta\left(\gamma^{i}\right), \text { если } \mathscr{\Theta}=\left\{\gamma^{1}, \ldots, \gamma^{i}, \ldots\right\},\end{cases} \] где \[ \Delta(\gamma)= \begin{cases}-M_{\gamma} R_{\gamma}^{\prime} & - \text { сильно связный подграф, } \\ 0 & \text { - остальных случаях }\end{cases} \] - контрчленные операции для подграфов, а $M_{\gamma}$ - нек-рый вычитающий оператор, выбор к-рого фиксирует перенормировочную схему. Обычно перенормировочная схема описывает нек-рый класс $R$-операций, характеризующийся значениями одного или нескольких параметров. Среди «множества» перенормировочных схем можно выделить два основных подмножества: схемы, основанные на вычитаниях по импульсам, и схемы с вычитаниями полюсов по комплексным параметрам регуляризации. Если для схем первого вида регуляризацию можно и не вводить, то определение какой-либо схемы второго вида основано на вполне конкретной регуляризации (см. Ультрафиолетовая расходимость). Вычитающий оператор, по крайней мере, должен обеспечивать локальность контрчленных операций. Это требование автоматически выполняется в схемах с вычитаниями по импульсам. Простейшим вариантом такой перенормировочной схемы является $R$-операция Боголюбова-Парасюка, к-рая основана на вычитающем операторе, выделяющем несколько первых членов разложения фейнмановского интеграла в ряд Тейлора при нулевых импульсах. Перенормировка Боголюбова - Парасюка в своем первоначальном виде неприменима в теориях с безмассовыми частицами, поскольку в этом случае вычитания при нулевых импульсах порождают инфракрасные расходимости. Существует несколько вариантов ее обобщения для теорий, включающих безмассовые частицы. Они основаны на введении в контрчлены нек-рого массивного параметра, предупреждающего возникновение инфракрасных расходимостей. Напр., тейлоровские вычитания можно производить не при нулевых импульсах, а в нек-рой точке евклидовых импульсов. Еще один вариант схемы с вычитаниями по импульсам - П. на массовой поверхности, то есть при $q^{2}=m_{\text {физ }}^{2}$, где $m_{\text {физ }}-$ наблюдаемая масса частицы. Эта схема характеризуется нормировочными условиями \[ \left.\Sigma\left(q^{2}, m^{2}\right)\right|_{q^{2}=m_{\text {физ }}^{2}}=0,\left.\quad \frac{\partial}{\partial q^{2}} \Sigma\left(q^{2}, m^{2}\right)\right|_{q^{2}=m_{\text {физ }}^{2}}=0, \] налагаемыми на вклад $\Sigma\left(q^{2}, m^{2}\right)$ сильно связных собственно-энергетич. диаграмм. К перенормировочным схемам с использованием комплексных параметров регуляризации относятся а на л и т ическая и размерная перенормировки. Вычитающий оператор для аналитич. П. выделяет полюсную часть разложения в ряд Лорана по параметру аналитич. регуляризации. Аналогичным образом вычитающий оператор для размерной П. выделяет полюсы по параметру $\varepsilon=(4-d) / 2$, характеризующему отклонение параметра размерной регуляризации от физич. значения $d=4$. Следует подчеркнуть, что величины $\Delta(\gamma) G_{\Gamma}, M_{\gamma} G_{\Gamma}$, как и сами неперенормированные фейнмановские амплитуды, имеют смысл лишь при наличии регуляризации (напр., размерной), а в перенормированных фейнмановских амплитудах можно уже перейти к физич. значениям регуляризующих параметров, то есть снять регуляризацию. Хотя все перенормировочные схемы физически эквивалентны, выбор какой-то конкретной из них может предоставить существенные преимущества. Напр., в калибровочных теориях целесообразно применять П. (и регуляризацию), совместную с калибровочной инвариантностью, в частности размерную П. Соотношения (2)-(4) рекурсивно определяют $R$-операцию через вычитающий оператор. Явное разрешение этих рекуррентных соотношений дает так наз. лесная формула (см. Боголюбова-Парасюка R-операция). П. производится не только в матрице рассеяния \[ S=R T \exp \left(i \int \mathscr{L}_{\text {int }}(y) d y\right) \] (здесь $\mathscr{L}_{\text {int }}-$ лагранжиан взаимодействия, $T$ - символ хронологич. упорядочения, $R$ - нек-рая $R$-операция; подразумевается отсутствие вклада вакуумных диаграмм), но и в составных операторах (полях) - объектах, к-рые участвуют в уравнениях движения и тождествах Уорда-Славнова, позволяя тем самым выразить фундаментальные свойства квантовополевой теории. Составной оператор $J(x)$ задается нек-рым полиномом $j(x)$ по полям и их производных. Его разложение по диаграммам Фейнмана можно получить из представления \[ J(x)=R T \exp \left(i \int \mathscr{L}_{\text {int }}(y) d y\right) j(x) . \] В этих диаграммах помимо вершин, тип к-рых определяется лагранжианом взаимодействия, содержится одна специальная вершина (она всегда внешняя), связанная с составным оператором. Обычно выбирают нек-рый базис составных операторов $\left\{J_{i}(x)\right\}$, заданный своими прообразами полиномами $j_{i}(x)$. П. составных операторов задается соотношением \[ J_{i}(x)=\sum_{k} Z_{i k} J_{k}^{B}(x) \] Здесь $Z_{i k}$ - матрица П. составных операторов, а $J_{k}^{B}(x)-$ составные операторы, в к-рых устранены все ультрафиолетовые расходимости, за исключением расходимостей, связанных с вершиной $x$. Устранение ультрафиолетовых расходимостей содержит конечный произвол. Если задана нек-рая перенормировочная процедура, то из нее можно получить любые другие схемы, добавляя к контрчленам конечные (при снятии регуляризации) слагаемые. Точнее говоря, для этого можно изменить заданный вычитающий оператор $M_{\gamma}$ на $M_{\gamma}-P_{\gamma}$, где $P_{\gamma}$ - оператор конечной П. Оператор $P_{\gamma}$ при действии на фейнмановскую амплитуду $G_{\Gamma}$ превращает ее в фейнмановскую амплитуду $G_{\Gamma / \gamma}$, в к-рой редуцированной вершине сопоставлен нек-рый конечный полином по импульсам. На лагранжевом уровне изменение перенормировочной процедуры означает перегруппировку слагаемых за счет перебрасывания членов между основной и контрчленной частями лагранжиана (в $\varphi^{4}$-теории - это, соответственно, \[ \mathscr{L}_{\mathrm{OCH}}=(\partial \varphi)^{2} / 2-m^{2} \varphi^{2} / 2-g \varphi^{4} / 4 \text { ! } \] и \[ \left.\mathscr{L}_{\mathrm{K \Psi}}=\delta Z_{2}(\partial \varphi)^{2} / 2-\delta m^{2} \varphi^{2} / 2-\delta g \varphi^{4} / 4 !\right) . \] Совокупность этих преобразований образует группу, к-рая называется ренормализационной группой. На множестве параметров лагранжиана эта группа действует мультипликативно: $m \rightarrow z_{m} m, g \rightarrow z_{g} g$ и т. д. Наблюдаемые физич. величины не зависят от выбора перенормировочных предписаний, то есть являются инвариантными относительно ренормгрупповых преобразований. Таким образом, изменение перенормировочной схемы не меняет теории, а лишь означает переход к другой ее параметризации. Обычно выделяют какую-нибудь однопараметрич. подгруппу ренормгрупповых преобразований. Напр., в рамках размерной П. эта подгруппа характеризуется параметром $\mu$ размерности массы. Таким образом, каждому значению $\mu$ соответствуют нек-рые значения масс и констант связи рассматриваемой теории. В результате естественным образом определяются массы $m_{i}(\mu)$ и константы связи $g_{i}(\mu)$. Эти параметры называются эффекти вным и, или бе гу щ и м и, и зависят от рассматриваемого масштаба энергий. Основу математич. аппарата метода ренормализационной группы составляют функциональные и дифференциальные ренормгрупповые уравнения. Напр., для эффективной константы связи $\bar{g}\left(Q / \mu^{2}, g_{\mu}\right)$, к-рая в рамках теории возмущений может определяться за счет нормировки в разных точках $\mu$ (где она принимает значение $g_{\mu}$ ) и тем не менее не должна зависеть от выбора этой точки, функциональное ренормгрупповое уравнение имеет вид \[ \bar{g}(x, g)=\bar{g}(x / t, \bar{g}(t, g)) \] Из уравнения (6) можно получить различного рода дифференциальные уравнения, напр. \[ x \frac{\partial \bar{g}(x, g)}{\partial x}=\beta(\bar{g}(x, g)) . \] Здесь $\beta(g)$ - так наз. бета-функция, к-рая выражается через решение уравнения (6) соотношением $\beta(g)=\left.\frac{\partial \bar{g}(x, g)}{\partial x}\right|_{x=1}$. На практике это дифференциальное ренормгрупповое уравне-  вычисляется через эффективную константу связи в первых порядках теории возмущений, а затем ренормгрупповое уравнение (7) решается с найденной $\beta$-функцией. В результате для эффективной константы связи получается ренорминвариантное выражение, к-рое в заданном порядке теории возмущений совпадает с исходным приближением. Если в  приближении, то за счет такой процедуры фактически осуществляется суммирование членов вида $\left(\alpha \ln Q^{2} / \mu^{2}\right)^{n}$, дающих вклад в асимптотич. поведение функции Грина при больших переданных импульсах $Q$. Напр., в квантовой электродинамике в однопетлевом приближении квадрат эффективной константы связи $\bar{\alpha}$ равен \[ \bar{\alpha}^{(1)}(x, \alpha)=\alpha+\frac{\alpha^{2}}{3 \pi} \ln x, \] что дает выражение \[ \beta(\alpha)=\alpha^{2} / 3 \pi \]  го ренормгруппового уравнения (7) приводит к результату \[ \bar{\alpha}(x, \alpha)=\frac{\alpha}{1-\frac{\alpha}{3 \pi} \ln x} . \] Аналогичным образом однопетлевое приближение в квантовой хромодинамике дает для эффективной константы взаимодействия следующее выражение: \[ \bar{\alpha}_{s}(x, \alpha)=\frac{\alpha_{s}}{1+\alpha_{s} x \ln x}, \] где $x=(33-2 n) / 12 \pi$, a $n-$ число сортов различных кварков. Если эффективная константа связи стремится $\mathbf{K}$ нулю при больших значениях импульсов (то есть на малых расстояниях), то теория называется ас имптотически свободн о й. В этом случае теория возмущений оказывается применимой для описания физики малых расстояний, поскольку эффективный параметр разложения становится малым. Явное выражение (9) показывает, что квантовая хромодинамика обладает асимптотич. свободой, причем учет следующих порядков теории возмущений не изменяет этого свойства. Напротив, в квантовой электродинамике эффективная константа связи (8) является возрастающей. Однако из-за малости низкоэнергетич. параметра разложения \[ \left.\alpha_{\text {физ }} \equiv \bar{\alpha}\left(Q^{2}\right)\right|_{Q^{2}=0} \cong 1 / 137 \] можно применять теорию возмущений, так как возрастание эффективной константы связи происходит при экспериментально недоступных энергиях. Более того, квантовоэлектродинамич. расчеты по теории возмущений находятся в прекрасном согласии с экспериментальными данными. Метод ренормализационной группы был развит в середине 50-х гг. Э. Штюкельбергом (E. Stueckelberg) и А. Петерманом (A. Peterman), М. Гелл-Маном (M. Gell-Mann) и Ф. Лоу (F. Low), Н. Н. Боголюбовым и Д. В. Ширковым. Помимо квантовой теории поля этот метод стал успешно применяться в статистич. физике, а также в нек-рых разделах физики, изучающих не только микроскопич., но и макроскопич. процессы.