ПЛОТИНЫ ЗАДАЧА С НЕИЗВЕСТНОЙ ГРАНИЦЕЙ

задача, описывающая фильтрацию жидкости через пористую плотину П, перегораживающую водонепроницаемый желоб $N$. При этом неизвестными являются область $D_{t} \subset \mathbb{R}^{n}$, $\boldsymbol{n}=2,3,-$ влажная часть плотины $\boldsymbol{\Pi}-$ и распределенное в ней давление $p(x, t)$ или пьезометрич. напор \[ h(x, t)=z+p / \gamma \] где гравитационная константа соответствующим образом нормирована, $\gamma$ - удельный вес жидкости, координата $z=x_{3}$ ( $\left.z=x_{2}, n=2\right)$ определяет геометрич. высоту (см. [1]). Для большинства грунтов (рыхлых) справедлив закон Дарси, линейно связывающий скорость фильтрации и градиент пьезометрич. напора (см. [1]). Уравнение неразрывности в этом случае имеет вид: \[ h_{t}=\operatorname{div}(k \nabla h) \text { в } D_{t}, \] где $k$ - коэффициент фильтрации. Граница $D_{t}$ состоит из поверхности $\Gamma_{t}-$ части заданного многообразия $\Gamma$ - границы плотины, и неизвестной поверхности $\gamma_{t}$ [поверхности депресски с уравнением $F(x, t)=0$ ]. На неизвестной границе $\boldsymbol{y}_{\boldsymbol{t}}$ функция $\boldsymbol{h}$ должна удовлетворять двум условиям - одно определяется постоянством давления на $\gamma_{t}$, а второе имеет вид $V_{v}=k \nabla h$, где $V_{v}-$ скорость перемещения поверхности $\gamma_{t}$ в направлении нормали $v \mathrm{k}$ этой поверхности, внешней для $D_{t}$ : \[ V_{v}=-\left(\partial_{t} F\right)(\nabla F, v)^{-1} . \] В начальный момент фиксируются напор $h$ и положение неизвестной границы. На части фиксированной границы $\Gamma_{t} \backslash N$ либо фиксируется напор $h$ (на верхнем и нижнем бьефе), либо справедливо условие постоянства давления (на «зоне высачивания»). Корректность стационарной П. з. с неизвестной границей при $n=3$ установлена в [2]. Случай $n=2$, как установившегося, так и неустановившегося движения, рассмотрен многими авторами (см. [1]-[3]).

задача, описывающая фильтрацию жидкости через пористую плотину П, перегораживающую водонепроницаемый желоб $N$. При этом неизвестными являются область $D_{t} \subset \mathbb{R}^{n}$, $\boldsymbol{n}=2,3,-$ влажная часть плотины $\boldsymbol{\Pi}-$ и распределенное в ней давление $p(x, t)$ или пьезометрич. напор \[ h(x, t)=z+p / \gamma \] где гравитационная константа соответствующим образом нормирована, $\gamma$ - удельный вес жидкости, координата $z=x_{3}$ ( $\left.z=x_{2}, n=2\right)$ определяет геометрич. высоту (см. [1]). Для большинства грунтов (рыхлых) справедлив закон Дарси, линейно связывающий скорость фильтрации и градиент пьезометрич. напора (см. [1]). Уравнение неразрывности в этом случае имеет вид: \[ h_{t}=\operatorname{div}(k \nabla h) \text { в } D_{t}, \] где $k$ - коэффициент фильтрации. Граница $D_{t}$ состоит из поверхности $\Gamma_{t}-$ части заданного многообразия $\Gamma$ - границы плотины, и неизвестной поверхности $\gamma_{t}$ [поверхности депресски с уравнением $F(x, t)=0$ ]. На неизвестной границе $\boldsymbol{y}_{\boldsymbol{t}}$ функция $\boldsymbol{h}$ должна удовлетворять двум условиям - одно определяется постоянством давления на $\gamma_{t}$, а второе имеет вид $V_{v}=k \nabla h$, где $V_{v}-$ скорость перемещения поверхности $\gamma_{t}$ в направлении нормали $v \mathrm{k}$ этой поверхности, внешней для $D_{t}$ : \[ V_{v}=-\left(\partial_{t} F\right)(\nabla F, v)^{-1} . \] В начальный момент фиксируются напор $h$ и положение неизвестной границы. На части фиксированной границы $\Gamma_{t} \backslash N$ либо фиксируется напор $h$ (на верхнем и нижнем бьефе), либо справедливо условие постоянства давления (на «зоне высачивания»). Корректность стационарной П. з. с неизвестной границей при $n=3$ установлена в [2]. Случай $n=2$, как установившегося, так и неустановившегося движения, рассмотрен многими авторами (см. [1]-[3]).