ПЛОТНОСТИ ОПЕРАТОР

оператор в гильбертовом пространстве квантовомеханической системы, характеризующий ее состояние, то есть определенным образом приготовленный статистический ансамбль индивидуальных экземпляров системы. П.о. является положительным самосопряженным оператором $\rho$ с единичным следом в гильбертовом пространстве $H$ системы. При этом среднее значение наблюдаемой $X$ в состоянии, описываемом П.о. $\rho$, равно \[ \langle X\rangle_{\rho}=\operatorname{Tr} \rho X . \] Говоря о квантовом состоянии, обычно имеют в виду соответствующий П.о. Соотношение \[ \varphi_{\rho}(X)=\operatorname{Tr} \rho X ; X \in \mathfrak{B}(H) \] устанавливает взаимно-однозначное соответствие между П.о. $\rho$ и нормальными состояниями $\varphi_{\rho}$ на алгебре $\$(H)$ всех ограниченных операторов в $\boldsymbol{H}$. Таким образом, П.о. можно рассматривать как некоммутативную производную Радона-Никодима нормального состояния относительно следа. Если $\rho_{i}, i=1, \ldots, n,-$ операторы плотности, то любая их смесь, то есть выпуклая комбинация \[ \rho=\sum_{i=1}^{n} p_{i} \rho_{i} \] где \[ p_{i} \geqslant 0, \quad \sum_{i=1}^{n} p_{i}=1, \] также является П.о., к-рый описывает смесь статистич. ансамблей, задаваемых П.о. $\rho_{i}$, в пропорциях $p_{i}, i=1, \ldots, n$. Таким образом, совокупность $\&(H)$ всех П.о. в гильбертовом пространстве $H$ является выпуклым множеством. П.о. $\rho$ является крайней точкой множества @ $(H)$, если он представим в виде смеси других П.о. Соответствующие состояния называются чистыми. Для того чтобы П.о. $о$ представлял чистое состояние, необходимо и достаточно, чтобы он являлся ортопроектором на нек-рый единичный вектор $\psi$ пространства $H$, называемый вектором состояния. При этом $\langle X\rangle_{\rho}=\left(\psi, X_{\psi}\right)$. Соответствие между чистыми состояниями и векторами $\Psi$ взаимно однозначно с точностью до комплексного множителя, по модулю равного единице. Всякий П.о. $\rho$ представляется в виде смеси одномерных ортопроекторов, причем такое представление неоднозначно; выделенное представление, для к-рого компоненты смеси взаимно ортогональны, дается спектральным разложением П.о. р.

оператор в гильбертовом пространстве квантовомеханической системы, характеризующий ее состояние, то есть определенным образом приготовленный статистический ансамбль индивидуальных экземпляров системы. П.о. является положительным самосопряженным оператором $\rho$ с единичным следом в гильбертовом пространстве $H$ системы. При этом среднее значение наблюдаемой $X$ в состоянии, описываемом П.о. $\rho$, равно \[ \langle X\rangle_{\rho}=\operatorname{Tr} \rho X . \] Говоря о квантовом состоянии, обычно имеют в виду соответствующий П.о. Соотношение \[ \varphi_{\rho}(X)=\operatorname{Tr} \rho X ; X \in \mathfrak{B}(H) \] устанавливает взаимно-однозначное соответствие между П.о. $\rho$ и нормальными состояниями $\varphi_{\rho}$ на алгебре $\$(H)$ всех ограниченных операторов в $\boldsymbol{H}$. Таким образом, П.о. можно рассматривать как некоммутативную производную Радона-Никодима нормального состояния относительно следа. Если $\rho_{i}, i=1, \ldots, n,-$ операторы плотности, то любая их смесь, то есть выпуклая комбинация \[ \rho=\sum_{i=1}^{n} p_{i} \rho_{i} \] где \[ p_{i} \geqslant 0, \quad \sum_{i=1}^{n} p_{i}=1, \] также является П.о., к-рый описывает смесь статистич. ансамблей, задаваемых П.о. $\rho_{i}$, в пропорциях $p_{i}, i=1, \ldots, n$. Таким образом, совокупность $\&(H)$ всех П.о. в гильбертовом пространстве $H$ является выпуклым множеством. П.о. $\rho$ является крайней точкой множества @ $(H)$, если он представим в виде смеси других П.о. Соответствующие состояния называются чистыми. Для того чтобы П.о. $о$ представлял чистое состояние, необходимо и достаточно, чтобы он являлся ортопроектором на нек-рый единичный вектор $\psi$ пространства $H$, называемый вектором состояния. При этом $\langle X\rangle_{\rho}=\left(\psi, X_{\psi}\right)$. Соответствие между чистыми состояниями и векторами $\Psi$ взаимно однозначно с точностью до комплексного множителя, по модулю равного единице. Всякий П.о. $\rho$ представляется в виде смеси одномерных ортопроекторов, причем такое представление неоднозначно; выделенное представление, для к-рого компоненты смеси взаимно ортогональны, дается спектральным разложением П.о. р.