ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ МЕТОД

метод исследования решений дифференциальных уравнений вблизи границы области в том случае, когда поведение решения в малой окрестности границы (в пограничном слое) существенно отличается от поведения внутри области. Термин «пограничный слой» возник в гидродинамике в связи с рассмотрением задачи об обтекании тела жидкостью с малой вязкостью. Вязкая жидкость прилипает к телу, и поэтому в тонком слое, прилегающем к границе тела, течение жидкости существенно отличается от течения вне пограничного слоя, где влияние вязкости незначительно. Уравнение движения жидкости с малой вязкостью (уравнение Навье-Стокса) представляет собой дифференциальное уравнение с частными производными с малым множителем (малым параметром) при старших производных, к-рый характеризует малую вязкость. В дальнейшем термин «пограничный слой» распространился и на другие задачи для уравнений с малыми параметрами при производных. Такие уравнения принято называть сингулярно возмущенными. Они выступают в качестве математич. моделей при исследовании разнообразных процессов в естествознании и технике: в задачах гидродинамики, химич. кинетики, физики полупроводников, тепло- и массопереноса, теории тонких оболочек, синергетики и многих др. Для сингулярно возмущенных уравнений характерно существование узких зон, в к-рых происходит резкое изменение решения. Такие зоны возникают как вблизи границы (пограничный слой), так и внутри области (внутренний переходный слой). Конкретные физич. задачи с пограничными слоями исследовались еще в работах П. Лапласа (P. Laplace), К. Максвелла (C. Maxwell), Г. Кирхгофа (G. Kirchhoff) в 19 в. Систематическое же исследование сингулярно возмущенных задач началось после появления основополагающей работы А. Н. Тихонова [1], в к-рой была доказана теорема о предельном переходе при $\mu \rightarrow 0$ от решения системы уравнений \[ \mu \frac{d z}{d t}=F(z, y, t), \frac{d y}{d t}=f(z, y, t), z(0)=z^{0}, y(0)=y^{0}, \] к решению вырожденной системы \[ 0=F(\bar{z}, \bar{y}, t), \quad \frac{d \bar{y}}{d t}=f(\bar{z}, \bar{y}, t), \quad \bar{y}(0)=y^{0} . \] Следующим шагом явилось построение (см. [2]) полного асимптотич. разложения решения задачи (1): \[ x(t, \mu)=(z(t, \mu), y(t, \mu)) \] \[ x(t, \mu)=\sum_{k=0}^{\infty} \mu^{k}\left(\bar{x}_{k}(t)+\prod_{k} x(\tau)\right), \quad \tau=t / \mu . \] Здесь $\bar{x}_{k}(t)$ - члены регулярного ряда, в частности $\bar{x}_{0}(t)=$ $=(\bar{z}(t), \bar{y}(t))-$ решение вырожденной задачи, $\Pi_{k} x(\tau)-$ пограничные функции, описывающие поведение решения в пограничном слое вблизи точки $t=0$. В развитии П.с. м. для уравнений с частными производными важную роль сыграла работа [3], в к-рой предложен метод построения погранслойных разложений типа (2) для широкого класса сингулярно возмущенных задач. Основная идея метода состоит во введении растянутой переменной, изменяющейся вдоль нормали к границе области [роль такой переменной в (2) играет $\tau]$, и построении пограничных функций как решений (как правило) обыкновенных дифференциальных уравнений с растянутой переменной в качестве независимой переменной. Для решения сингулярно возмущенных задач с пограничным слоем развиты различные методы: метод угловых пограничных функций, метод согласования, метод регуляризации, метод исследования релаксационных режимов, методы типа ВКБ и др.

метод исследования решений дифференциальных уравнений вблизи границы области в том случае, когда поведение решения в малой окрестности границы (в пограничном слое) существенно отличается от поведения внутри области. Термин «пограничный слой» возник в гидродинамике в связи с рассмотрением задачи об обтекании тела жидкостью с малой вязкостью. Вязкая жидкость прилипает к телу, и поэтому в тонком слое, прилегающем к границе тела, течение жидкости существенно отличается от течения вне пограничного слоя, где влияние вязкости незначительно. Уравнение движения жидкости с малой вязкостью (уравнение Навье-Стокса) представляет собой дифференциальное уравнение с частными производными с малым множителем (малым параметром) при старших производных, к-рый характеризует малую вязкость. В дальнейшем термин «пограничный слой» распространился и на другие задачи для уравнений с малыми параметрами при производных. Такие уравнения принято называть сингулярно возмущенными. Они выступают в качестве математич. моделей при исследовании разнообразных процессов в естествознании и технике: в задачах гидродинамики, химич. кинетики, физики полупроводников, тепло- и массопереноса, теории тонких оболочек, синергетики и многих др. Для сингулярно возмущенных уравнений характерно существование узких зон, в к-рых происходит резкое изменение решения. Такие зоны возникают как вблизи границы (пограничный слой), так и внутри области (внутренний переходный слой). Конкретные физич. задачи с пограничными слоями исследовались еще в работах П. Лапласа (P. Laplace), К. Максвелла (C. Maxwell), Г. Кирхгофа (G. Kirchhoff) в 19 в. Систематическое же исследование сингулярно возмущенных задач началось после появления основополагающей работы А. Н. Тихонова [1], в к-рой была доказана теорема о предельном переходе при $\mu \rightarrow 0$ от решения системы уравнений \[ \mu \frac{d z}{d t}=F(z, y, t), \frac{d y}{d t}=f(z, y, t), z(0)=z^{0}, y(0)=y^{0}, \] к решению вырожденной системы \[ 0=F(\bar{z}, \bar{y}, t), \quad \frac{d \bar{y}}{d t}=f(\bar{z}, \bar{y}, t), \quad \bar{y}(0)=y^{0} . \] Следующим шагом явилось построение (см. [2]) полного асимптотич. разложения решения задачи (1): \[ x(t, \mu)=(z(t, \mu), y(t, \mu)) \] \[ x(t, \mu)=\sum_{k=0}^{\infty} \mu^{k}\left(\bar{x}_{k}(t)+\prod_{k} x(\tau)\right), \quad \tau=t / \mu . \] Здесь $\bar{x}_{k}(t)$ - члены регулярного ряда, в частности $\bar{x}_{0}(t)=$ $=(\bar{z}(t), \bar{y}(t))-$ решение вырожденной задачи, $\Pi_{k} x(\tau)-$ пограничные функции, описывающие поведение решения в пограничном слое вблизи точки $t=0$. В развитии П.с. м. для уравнений с частными производными важную роль сыграла работа [3], в к-рой предложен метод построения погранслойных разложений типа (2) для широкого класса сингулярно возмущенных задач. Основная идея метода состоит во введении растянутой переменной, изменяющейся вдоль нормали к границе области [роль такой переменной в (2) играет $\tau]$, и построении пограничных функций как решений (как правило) обыкновенных дифференциальных уравнений с растянутой переменной в качестве независимой переменной. Для решения сингулярно возмущенных задач с пограничным слоем развиты различные методы: метод угловых пограничных функций, метод согласования, метод регуляризации, метод исследования релаксационных режимов, методы типа ВКБ и др.