БОГОЛЮБОВА ТЕОРЕМА

теорема статистической физики об особенностях типа $1 / q^{2}$ у Грина функций для бозе- и ферми-систем при малых импульсах q. Доказана Н. Н. Боголюбовым в 1961. Согласно Б. т., для квантовых бозе-систем с калибровочно инвариантным взаимодействием между частицами фурье-компоненты функций Грина, соответствующие энергии $E=0$, удовлетворяют неравенству \[ \left|\left\langle\left\langle a_{q}, a_{q}^{+}\right\rangle\right\rangle_{E=0}\right| \geqslant A / q^{2}, \] где $a_{\boldsymbol{q}}, a_{\boldsymbol{q}}^{+}-$бозе-операторы, $A$ - константа, пропорциональная плотности бозе-конденсата. Функции Грина понимаются в смысле квазисредних, то есть предполагается, что снято вырождение состояния статистич. равновесия, связанное с законом сохранения числа частиц (неустойчивость относительно образования бозе-конденсата). В этом случае особенность $1 / q^{2}$ свидетельствует о появлении бозе-конденсата и ветви возбуждений без энергетич. щели. Аналогичная теорема имеет место и для ферми-систем, для к-рых возможен переход в сверхпроводящее состояние, напр. для электронов в металле. В этом случае для построения квазисредних нужно снять вырождение относительно появления связанных пар фермионов с противоположно направленными спинами. Тогда \[ \left|\left\langle\beta_{q}, \beta_{q}^{+}\right\rangle\right\rangle_{E=0} \mid \geqslant B / q^{2}, \] где $\beta_{q}, \beta_{q}^{+}$- операторные фурье-компоненты, соответствующие импульсу $\boldsymbol{q}$, от произведений ферми-операторов \[ \begin{gathered} \psi(\boldsymbol{x}, \sigma) \psi\left(\boldsymbol{x}^{\prime},-\sigma\right), \\ \psi^{+}(\boldsymbol{x}, \sigma) \psi^{+}\left(\boldsymbol{x}^{\prime},-\sigma\right), \end{gathered} \] $\sigma-$ спин, $B$ - константа, пропорциональная плотности конденсата из парных «квазимолекул», то есть коррелированных пар фермионов с противоположно направленными спинами. Б. т. для ферми-систем указывает на появление ветви коллективных возбуждений в энергетич. спектре, что отвечает спонтанному нарушению симметрии. Аналогичные особенности появляются у соответствующих функций Грина для систем с другими видами вырождения. Такие же соотношения справедливы и в квантовой теории поля, где в случае спонтанного нарушения симметрии возникают частицы нулевой массы.

теорема статистической физики об особенностях типа $1 / q^{2}$ у Грина функций для бозе- и ферми-систем при малых импульсах q. Доказана Н. Н. Боголюбовым в 1961. Согласно Б. т., для квантовых бозе-систем с калибровочно инвариантным взаимодействием между частицами фурье-компоненты функций Грина, соответствующие энергии $E=0$, удовлетворяют неравенству \[ \left|\left\langle\left\langle a_{q}, a_{q}^{+}\right\rangle\right\rangle_{E=0}\right| \geqslant A / q^{2}, \] где $a_{\boldsymbol{q}}, a_{\boldsymbol{q}}^{+}-$бозе-операторы, $A$ - константа, пропорциональная плотности бозе-конденсата. Функции Грина понимаются в смысле квазисредних, то есть предполагается, что снято вырождение состояния статистич. равновесия, связанное с законом сохранения числа частиц (неустойчивость относительно образования бозе-конденсата). В этом случае особенность $1 / q^{2}$ свидетельствует о появлении бозе-конденсата и ветви возбуждений без энергетич. щели. Аналогичная теорема имеет место и для ферми-систем, для к-рых возможен переход в сверхпроводящее состояние, напр. для электронов в металле. В этом случае для построения квазисредних нужно снять вырождение относительно появления связанных пар фермионов с противоположно направленными спинами. Тогда \[ \left|\left\langle\beta_{q}, \beta_{q}^{+}\right\rangle\right\rangle_{E=0} \mid \geqslant B / q^{2}, \] где $\beta_{q}, \beta_{q}^{+}$- операторные фурье-компоненты, соответствующие импульсу $\boldsymbol{q}$, от произведений ферми-операторов \[ \begin{gathered} \psi(\boldsymbol{x}, \sigma) \psi\left(\boldsymbol{x}^{\prime},-\sigma\right), \\ \psi^{+}(\boldsymbol{x}, \sigma) \psi^{+}\left(\boldsymbol{x}^{\prime},-\sigma\right), \end{gathered} \] $\sigma-$ спин, $B$ - константа, пропорциональная плотности конденсата из парных «квазимолекул», то есть коррелированных пар фермионов с противоположно направленными спинами. Б. т. для ферми-систем указывает на появление ветви коллективных возбуждений в энергетич. спектре, что отвечает спонтанному нарушению симметрии. Аналогичные особенности появляются у соответствующих функций Грина для систем с другими видами вырождения. Такие же соотношения справедливы и в квантовой теории поля, где в случае спонтанного нарушения симметрии возникают частицы нулевой массы.