ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ПОРЯДКА $m$

комплексная функция $w=u+i v$ действительных переменных $x$ и $y$ или, что эквивалентно, независимых комплексных переменных $z=x+i y$ и $\bar{z}=x-i y$ в плоской области $D$, представимая в виде \[ w=f(z, \bar{z})=\sum_{k=0}^{m-1} \bar{z}^{k} f_{k}(z), \] где $f_{k}(z), k=0, \ldots, m-1,-$ комплексные аналитические функции в $D$. Иначе, П. ф. $w$ порядка $m$ можно определить как функцию, имеющую в $D_{-}$непрерывные частные производные по $x$ и $y$ или по $z$ и $\bar{z}$ до порядка $m$ включительно и удовлетворяющую всюду в $D$ обобщенному условию Коши - Римана: \[ \frac{\partial^{m} w}{\partial \bar{z}^{m}}=0 . \] При $m=1$ получаются аналитические функции. Для того чтобы функция $\boldsymbol{u}=u(x, y)$ была действительной (или мнимой) частью нек-рой П. ф. $w=u+i v$ в области $D$, необходимо и достаточно, чтобы $u$ была полигармонической функцией в $D$. На П.ф. переносятся с соответствующими изменениями нек-рые классич. свойства аналитич. функ$\begin{array}{ll}\text { ций, } & \text { Е.Д. Соломенцев. }\end{array}$

комплексная функция $w=u+i v$ действительных переменных $x$ и $y$ или, что эквивалентно, независимых комплексных переменных $z=x+i y$ и $\bar{z}=x-i y$ в плоской области $D$, представимая в виде \[ w=f(z, \bar{z})=\sum_{k=0}^{m-1} \bar{z}^{k} f_{k}(z), \] где $f_{k}(z), k=0, \ldots, m-1,-$ комплексные аналитические функции в $D$. Иначе, П. ф. $w$ порядка $m$ можно определить как функцию, имеющую в $D_{-}$непрерывные частные производные по $x$ и $y$ или по $z$ и $\bar{z}$ до порядка $m$ включительно и удовлетворяющую всюду в $D$ обобщенному условию Коши - Римана: \[ \frac{\partial^{m} w}{\partial \bar{z}^{m}}=0 . \] При $m=1$ получаются аналитические функции. Для того чтобы функция $\boldsymbol{u}=u(x, y)$ была действительной (или мнимой) частью нек-рой П. ф. $w=u+i v$ в области $D$, необходимо и достаточно, чтобы $u$ была полигармонической функцией в $D$. На П.ф. переносятся с соответствующими изменениями нек-рые классич. свойства аналитич. функ$\begin{array}{ll}\text { ций, } & \text { Е.Д. Соломенцев. }\end{array}$