ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ \$ В ПРОСТРАНСТВ Е $V$

сопоставление $T$ каждому элементу $X$ алгебры \& оператора (в $V$ ) такое, что \[ T([X, Y])=[T(X), T(Y)] . \] Если $S V$ конечномерно, то и представление $T$ называется конечномерным. Пусть $S-$ представление группы Ли $G$ соответствующей алгебры Ли ङ5. Тогда формула \[ T(X)=\frac{d}{d t} S \exp (t X) \] задает П. алгебры (5. Обратно, формула \[ S_{\exp }(t X)=\exp (t T(X)) \] восстанавливает П. $S$ по П. $T$. Если пространство $V$ бесконечномерно и в нем введена топология (напр., если $V$ - гильбертово пространство), то дополнительно требуют, чтобы все операторы $T(X)$ имели общую инвариантную область определения. Обычно в определении бесконечномерного П. ничего больше не требуется, однако получающееся определение не совсем удовлетворительно и при работе с ним нужна нек-рая осторожность. Дело в том, что операторы $T(X)$, как правило, оказываются неограниченными дифференциальными операторами, а свойства дифференциальных операторов, как известно, очень чувствительны к выбору области определения. Напр., уже в простейших содержательных случаях может оказаться, что одному и тому же набору дифференциальных операторов $T(X)$ соответствует много различных П. группы Ли, а может оказаться, что ни одного.

сопоставление $T$ каждому элементу $X$ алгебры \& оператора (в $V$ ) такое, что \[ T([X, Y])=[T(X), T(Y)] . \] Если $S V$ конечномерно, то и представление $T$ называется конечномерным. Пусть $S-$ представление группы Ли $G$ соответствующей алгебры Ли ङ5. Тогда формула \[ T(X)=\frac{d}{d t} S \exp (t X) \] задает П. алгебры (5. Обратно, формула \[ S_{\exp }(t X)=\exp (t T(X)) \] восстанавливает П. $S$ по П. $T$. Если пространство $V$ бесконечномерно и в нем введена топология (напр., если $V$ - гильбертово пространство), то дополнительно требуют, чтобы все операторы $T(X)$ имели общую инвариантную область определения. Обычно в определении бесконечномерного П. ничего больше не требуется, однако получающееся определение не совсем удовлетворительно и при работе с ним нужна нек-рая осторожность. Дело в том, что операторы $T(X)$, как правило, оказываются неограниченными дифференциальными операторами, а свойства дифференциальных операторов, как известно, очень чувствительны к выбору области определения. Напр., уже в простейших содержательных случаях может оказаться, что одному и тому же набору дифференциальных операторов $T(X)$ соответствует много различных П. группы Ли, а может оказаться, что ни одного.