ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ

в общем случае, произвольная реализация этой группы как группы преобразований. Чаще, однако, под термином «представление группы» подразумевается то, что точнее называется «линейным представлением». Пусть $G$ - группа, а $H$ - линейное пространство. Линейным представлением группы $G$ в пространстве $H$ называется отображение $g_{\mapsto} T_{g}$ из $G$ в множество операторов в $H$, удовлетворяющее условиям \[ T_{g_{1} g_{2}}=T_{g_{1}} T_{g_{2}} \text { и } T_{e}=E, \] где $e$ - единица группы, а $E$ - единичный оператор. Если $H$ бесконечномерно и в нем введена какая-либо топология (чаще всего $H$ - гильбертово пространство), то естественно требовать еще, чтобы операторы $T_{g}$ были ограничены. Если $G$ - топологич. группа (в частности, группа Ли), то на отображение $g \rightarrow T_{g}$ необходимо наложить нек-рые условия непрерывности. Обычно требуют, чтобы матричные элементы П. $g \rightarrow T_{g}$ были непрерывными функциями на $G$. Если для разных элементов $g$ группы соответствующие им операторы $T_{g}$ попарно различны, то П. $T$ называется точным. Пусть $H^{\prime}$ - подпространство в $H$, инвариантное относительно всех операторов П. T. Тогда, рассматривая операторы П. $T$ как операторы в $H^{\prime}$, получим П. $T^{\prime}$ той же группы в пространстве $H^{\prime}$. Представление $T^{\prime}$ называется подпредставлением П. T. Ю. А. Неретин.

в общем случае, произвольная реализация этой группы как группы преобразований. Чаще, однако, под термином «представление группы» подразумевается то, что точнее называется «линейным представлением». Пусть $G$ - группа, а $H$ - линейное пространство. Линейным представлением группы $G$ в пространстве $H$ называется отображение $g_{\mapsto} T_{g}$ из $G$ в множество операторов в $H$, удовлетворяющее условиям \[ T_{g_{1} g_{2}}=T_{g_{1}} T_{g_{2}} \text { и } T_{e}=E, \] где $e$ - единица группы, а $E$ - единичный оператор. Если $H$ бесконечномерно и в нем введена какая-либо топология (чаще всего $H$ - гильбертово пространство), то естественно требовать еще, чтобы операторы $T_{g}$ были ограничены. Если $G$ - топологич. группа (в частности, группа Ли), то на отображение $g \rightarrow T_{g}$ необходимо наложить нек-рые условия непрерывности. Обычно требуют, чтобы матричные элементы П. $g \rightarrow T_{g}$ были непрерывными функциями на $G$. Если для разных элементов $g$ группы соответствующие им операторы $T_{g}$ попарно различны, то П. $T$ называется точным. Пусть $H^{\prime}$ - подпространство в $H$, инвариантное относительно всех операторов П. T. Тогда, рассматривая операторы П. $T$ как операторы в $H^{\prime}$, получим П. $T^{\prime}$ той же группы в пространстве $H^{\prime}$. Представление $T^{\prime}$ называется подпредставлением П. T. Ю. А. Неретин.