БОГОЛЮБОВА-ПАРАСЮКА $\boldsymbol{R}$-ОПЕРАЦИЯ (В УЗКОМ СМЫСЛЕ)

перенормировочная схема (см. Перенормировка в квантовой теории поля), то есть процедура устранения ультрафиолетовых расходимостей, основанная на вычитании из фейнмановских интегралов (диаграмм) нескольких первых членов разложения в ряд Тейлора при нулевых 4-мерных импульсах. В рамках этой перенормировочной схемы в середине 50-х гг. Н. Н. Боголюбов и О. С. Парасюк развили математич. основы теории перенормировок. В частности, они доказали, что $R$-операция обеспечивает конечность перенормированных фейнмановских амплитуд. Это и подобные утверждения для других перенормировочных схем принято называть теоремами Боголюбова-Парасюка. После работ 60-х гг. К. Хеппа (K. Hepp) и В. Циммермана (W. Zimmerman) Б.-П. $R$-о. стала также называться БПХЦ-перенормировкой. Б.-П. $R$-о. представляется в виде \[ R(\gamma)=\sum_{\gamma=\gamma_{1} \cup \ldots \cup \gamma_{k}} \Lambda\left(\gamma_{1}\right) \ldots \Lambda\left(\gamma_{k}\right) \equiv R^{\prime}(\gamma)+\Lambda(\gamma) \text {. } \] Здесь производится суммирование по разбиениям множества вершин $\gamma$ данного графа (диаграммы) $\Gamma$ на непустые непересекающиеся подмножества. Б.-$\Pi$. $R$-о. основана на устранении расходимостей из полных подграфов (к-рые включают любую линию вместе с ее концами). Поэтому можно не делать различия между множеством вершин $\gamma$ и полным подграфом $\Gamma(\gamma)$, построенным на этом множестве. В (1) $R^{\prime}$ - это «$R$-операция без последнего вычитания», а $\Lambda\left(\gamma_{i}\right)$ - контрчленные операции. Действуя на фейнмановскую амплитуду $G_{\Gamma}$, операция $\Lambda\left(\gamma_{i}\right)$ превращает ее в фейнмановскую амплитуду для редуцированного графа $\Gamma / \gamma_{i}$, причем вершине, в к-рую стянулся подграф $\gamma_{i}$, сопоставляется полином по импульсам («диаграммный контрчлен»). Контрчленные операции задаются рекуррентными соотношениями $\Lambda(\gamma)= \begin{cases}1, & \text { если } V=1, \\ -M_{\Gamma(\gamma)} R^{\prime}(\gamma), & \text { если } V>1, \text { а } \Gamma(\gamma)-\text { сильно связный граф (2) } \\ 0 & \text { - в остальных случаях, }\end{cases}$ где $V$ - число элементов во множестве $\gamma$, а $M_{\gamma}$ - вычитающий оператор Б.-П. $R$-о. При действии на фейнмановскую амплитуду он выделяет несколько первых членов разложения поддиаграммы $\gamma$ в ряд Тейлора при нулевых импульсах и вставляет полученный полином в редуцированном графе $\Gamma / \gamma$ в вершину, в к-рую стянулся подграф $\gamma$. Явное разрешение этих рекуррентных соотношений дает лесная формула \[ R_{\Gamma}=1+\sum_{F \neq \varnothing} \prod_{\gamma \in F}\left(-M_{\gamma}\right) \] полученная О. И. Завьяловым и Б. М. Степановым и переоткрытая В. Циммерманом. Суммирование здесь ведется по лесам графа $\Gamma$, состоящим из полных сильно связных подграфов. (Множество подграфов $F$ называется лесом, если любые два подграфа из $F$ либо не пересекаются, либо содержатся один в другом.) Как и в случае любой другой перенормировочной процедуры, применение Б.-П. $R$-о. эквивалентно переопределению (перенормировке) параметров лагранжиана заданной теории - констант взаимодействия, масс и констант перенормировки волновой функции. Процедура устранения ультрафиолетовых расходимостей содержит конечный произвол. Если задана нек-рая перенормировочная процедура, то из нее можно получить любые другие схемы, добавляя к контрчленам конечные слагаемые. Точнее говоря, для этого можно изменить заданный вычитающий оператор $M_{\gamma}$ на $M_{\gamma}-P_{\gamma}$, где $P_{\gamma}-$ оператор конечной перенормировки. Оператор $P_{\gamma}$ при действии на фейнмановскую амплитуду $G_{\Gamma}$ превращает ее в фейнмановскую амплитуду $G_{\Gamma / \gamma}$, в к-рой редуцированной вершине сопоставлен нек-рый конечный полином по импульсам. В частности, указанный произвол предусматривался и в работах Н. Н. Боголюбова и О. С. Парасюка. Поэтому в широ-  $\boldsymbol{R}$-операции общего вида. Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, М., 1984; [2] Завьялов О. И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М., $1979 . \quad$ В. А. Смирнов.

перенормировочная схема (см. Перенормировка в квантовой теории поля), то есть процедура устранения ультрафиолетовых расходимостей, основанная на вычитании из фейнмановских интегралов (диаграмм) нескольких первых членов разложения в ряд Тейлора при нулевых 4-мерных импульсах. В рамках этой перенормировочной схемы в середине 50-х гг. Н. Н. Боголюбов и О. С. Парасюк развили математич. основы теории перенормировок. В частности, они доказали, что $R$-операция обеспечивает конечность перенормированных фейнмановских амплитуд. Это и подобные утверждения для других перенормировочных схем принято называть теоремами Боголюбова-Парасюка. После работ 60-х гг. К. Хеппа (K. Hepp) и В. Циммермана (W. Zimmerman) Б.-П. $R$-о. стала также называться БПХЦ-перенормировкой. Б.-П. $R$-о. представляется в виде \[ R(\gamma)=\sum_{\gamma=\gamma_{1} \cup \ldots \cup \gamma_{k}} \Lambda\left(\gamma_{1}\right) \ldots \Lambda\left(\gamma_{k}\right) \equiv R^{\prime}(\gamma)+\Lambda(\gamma) \text {. } \] Здесь производится суммирование по разбиениям множества вершин $\gamma$ данного графа (диаграммы) $\Gamma$ на непустые непересекающиеся подмножества. Б.-$\Pi$. $R$-о. основана на устранении расходимостей из полных подграфов (к-рые включают любую линию вместе с ее концами). Поэтому можно не делать различия между множеством вершин $\gamma$ и полным подграфом $\Gamma(\gamma)$, построенным на этом множестве. В (1) $R^{\prime}$ - это «$R$-операция без последнего вычитания», а $\Lambda\left(\gamma_{i}\right)$ - контрчленные операции. Действуя на фейнмановскую амплитуду $G_{\Gamma}$, операция $\Lambda\left(\gamma_{i}\right)$ превращает ее в фейнмановскую амплитуду для редуцированного графа $\Gamma / \gamma_{i}$, причем вершине, в к-рую стянулся подграф $\gamma_{i}$, сопоставляется полином по импульсам («диаграммный контрчлен»). Контрчленные операции задаются рекуррентными соотношениями $\Lambda(\gamma)= \begin{cases}1, & \text { если } V=1, \\ -M_{\Gamma(\gamma)} R^{\prime}(\gamma), & \text { если } V>1, \text { а } \Gamma(\gamma)-\text { сильно связный граф (2) } \\ 0 & \text { - в остальных случаях, }\end{cases}$ где $V$ - число элементов во множестве $\gamma$, а $M_{\gamma}$ - вычитающий оператор Б.-П. $R$-о. При действии на фейнмановскую амплитуду он выделяет несколько первых членов разложения поддиаграммы $\gamma$ в ряд Тейлора при нулевых импульсах и вставляет полученный полином в редуцированном графе $\Gamma / \gamma$ в вершину, в к-рую стянулся подграф $\gamma$. Явное разрешение этих рекуррентных соотношений дает лесная формула \[ R_{\Gamma}=1+\sum_{F \neq \varnothing} \prod_{\gamma \in F}\left(-M_{\gamma}\right) \] полученная О. И. Завьяловым и Б. М. Степановым и переоткрытая В. Циммерманом. Суммирование здесь ведется по лесам графа $\Gamma$, состоящим из полных сильно связных подграфов. (Множество подграфов $F$ называется лесом, если любые два подграфа из $F$ либо не пересекаются, либо содержатся один в другом.) Как и в случае любой другой перенормировочной процедуры, применение Б.-П. $R$-о. эквивалентно переопределению (перенормировке) параметров лагранжиана заданной теории - констант взаимодействия, масс и констант перенормировки волновой функции. Процедура устранения ультрафиолетовых расходимостей содержит конечный произвол. Если задана нек-рая перенормировочная процедура, то из нее можно получить любые другие схемы, добавляя к контрчленам конечные слагаемые. Точнее говоря, для этого можно изменить заданный вычитающий оператор $M_{\gamma}$ на $M_{\gamma}-P_{\gamma}$, где $P_{\gamma}-$ оператор конечной перенормировки. Оператор $P_{\gamma}$ при действии на фейнмановскую амплитуду $G_{\Gamma}$ превращает ее в фейнмановскую амплитуду $G_{\Gamma / \gamma}$, в к-рой редуцированной вершине сопоставлен нек-рый конечный полином по импульсам. В частности, указанный произвол предусматривался и в работах Н. Н. Боголюбова и О. С. Парасюка. Поэтому в широ-  $\boldsymbol{R}$-операции общего вида. Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, М., 1984; [2] Завьялов О. И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М., $1979 . \quad$ В. А. Смирнов.