ПРОЕКЦИОННЫЙ ОПЕРАТОР, ПРОЕКТОР

идемпотентный линейный оператор $P$ в векторном пространстве $L$, то есть $P^{2}=P$, а $L=P L \dot{+}(I-P) L$. П. о. $P$ проектирует $L$ на подпространство $R(P)=P L$ «параллельно» $N(P)=(I-P) L$. В топологич. линейном пространстве $L$ рассматривают непрерывные П.о. В банаховом пространстве $X$ множество $\mathscr{P}(X) \subset \mathscr{B}(X)$ частично упорядоченно $\left(P_{1} \geqslant P_{2} \Leftrightarrow R\left(P_{2}\right) \subset\right.$ $\left.\subset R\left(P_{1}\right)\right)$, коммутирующие П.о. имеют верхнюю грань $P_{1} \vee P_{2}=P_{1}+P_{2}-P_{1} P_{2}$ и нижнюю грань $P_{1} \wedge P_{2}=P_{1} P_{2}$. Для $P \in \mathscr{P}(X)$ норма $\|P\| \geqslant 1$. П.о. нормы 1 иногда называется ортопроектором. Между всеми разложениями $X$ в прямую сумму двух замкнутых подпространств и $\mathscr{P}(X)$ есть взаимно однозначное соответствие, но не любое бесконечномерное подпространство дополнимо, то есть является образом проектора. В гильбертовом пространстве $H$ П.о. $P$ называется ортогональным П. о., если \[ R(P) \perp N(P)\left(\Leftrightarrow P=P^{*}\right) \] и между замкнутыми подпространствами (они ортодополнимы) и ортопроекторами есть взаимно однозначное соответствие. В гильбертовом пространстве обычно под П.о. подразумевают ортопроектор.

идемпотентный линейный оператор $P$ в векторном пространстве $L$, то есть $P^{2}=P$, а $L=P L \dot{+}(I-P) L$. П. о. $P$ проектирует $L$ на подпространство $R(P)=P L$ «параллельно» $N(P)=(I-P) L$. В топологич. линейном пространстве $L$ рассматривают непрерывные П.о. В банаховом пространстве $X$ множество $\mathscr{P}(X) \subset \mathscr{B}(X)$ частично упорядоченно $\left(P_{1} \geqslant P_{2} \Leftrightarrow R\left(P_{2}\right) \subset\right.$ $\left.\subset R\left(P_{1}\right)\right)$, коммутирующие П.о. имеют верхнюю грань $P_{1} \vee P_{2}=P_{1}+P_{2}-P_{1} P_{2}$ и нижнюю грань $P_{1} \wedge P_{2}=P_{1} P_{2}$. Для $P \in \mathscr{P}(X)$ норма $\|P\| \geqslant 1$. П.о. нормы 1 иногда называется ортопроектором. Между всеми разложениями $X$ в прямую сумму двух замкнутых подпространств и $\mathscr{P}(X)$ есть взаимно однозначное соответствие, но не любое бесконечномерное подпространство дополнимо, то есть является образом проектора. В гильбертовом пространстве $H$ П.о. $P$ называется ортогональным П. о., если \[ R(P) \perp N(P)\left(\Leftrightarrow P=P^{*}\right) \] и между замкнутыми подпространствами (они ортодополнимы) и ортопроекторами есть взаимно однозначное соответствие. В гильбертовом пространстве обычно под П.о. подразумевают ортопроектор.