ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ

Функция, определяющая лагранжево многообразие или каноническое преобразование. Если $L-$ лагранжево многообразие в симплектич. многообразии $(M, \omega=d \alpha)$, то ограничение 1-формы $\alpha$ на $L$ замкнуто и в окрестности любой точки является дифференциалом $d S$ нек-рой гладкой функции $S$ на $L$, называемой производящей функцией многообразия $L$. П. Ф. определена с точностью до прибавления константы и при продолжении на все $L$ может становиться многозначной. П. ф. зависит также от 1-формы $\alpha$ такой, что $\omega=d \alpha$. Примеры. 1) Если $L \subset T^{*} X$ диффеоморфно проектируется на базу $X$, то $L$ является графиком дифференциала $d S$ нек-рой функции $S: X \rightarrow \mathbb{R}$. 2) Если координаты $\left(p_{I}, q_{J}\right)$ можно взять в качестве координат на лагранжевом многообразии $L$ в стандартном симплектич. пространстве с координатами $p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$, то $L$ задается П. ф. $S\left(p_{I}, q_{J}\right)$ по формуле \[ q_{I}=-\frac{\partial s}{\partial p_{I}}, \quad p_{J}=\frac{\partial s}{\partial q_{J}}, \] где множество индексов $\{1, \ldots, n\}$ разбито на два подмножества $I$ и $J$. 3) П. ф. канонич. преобразования (симплектоморфизма) $\varphi: M_{1} \rightarrow M_{2}$ симплектич. многообразий $\left(M_{1}, \omega_{1}\right)$ и $\left(M_{2}, \omega_{2}\right)$ - это П. ф. графика $\Gamma_{\varphi} \subset M_{1} \times M_{2}$ отображения $\varphi$. В координатах Дарбу $(p, q)$ на $M_{1}$ и $(P, Q)$ на $M_{2}$ преобразование $\varphi$ задается П. ф. $S(q, Q)$ такой, что \[ \operatorname{det} \frac{\partial^{2} s}{\partial q \partial Q} \neq 0 \] формулами \[ p=\frac{\partial s}{\partial q}, \quad p=-\frac{\partial s}{\partial Q} . \] М. Э. Казарян.

Функция, определяющая лагранжево многообразие или каноническое преобразование. Если $L-$ лагранжево многообразие в симплектич. многообразии $(M, \omega=d \alpha)$, то ограничение 1-формы $\alpha$ на $L$ замкнуто и в окрестности любой точки является дифференциалом $d S$ нек-рой гладкой функции $S$ на $L$, называемой производящей функцией многообразия $L$. П. Ф. определена с точностью до прибавления константы и при продолжении на все $L$ может становиться многозначной. П. ф. зависит также от 1-формы $\alpha$ такой, что $\omega=d \alpha$. Примеры. 1) Если $L \subset T^{*} X$ диффеоморфно проектируется на базу $X$, то $L$ является графиком дифференциала $d S$ нек-рой функции $S: X \rightarrow \mathbb{R}$. 2) Если координаты $\left(p_{I}, q_{J}\right)$ можно взять в качестве координат на лагранжевом многообразии $L$ в стандартном симплектич. пространстве с координатами $p_{1}, \ldots, p_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}$, то $L$ задается П. ф. $S\left(p_{I}, q_{J}\right)$ по формуле \[ q_{I}=-\frac{\partial s}{\partial p_{I}}, \quad p_{J}=\frac{\partial s}{\partial q_{J}}, \] где множество индексов $\{1, \ldots, n\}$ разбито на два подмножества $I$ и $J$. 3) П. ф. канонич. преобразования (симплектоморфизма) $\varphi: M_{1} \rightarrow M_{2}$ симплектич. многообразий $\left(M_{1}, \omega_{1}\right)$ и $\left(M_{2}, \omega_{2}\right)$ - это П. ф. графика $\Gamma_{\varphi} \subset M_{1} \times M_{2}$ отображения $\varphi$. В координатах Дарбу $(p, q)$ на $M_{1}$ и $(P, Q)$ на $M_{2}$ преобразование $\varphi$ задается П. ф. $S(q, Q)$ такой, что \[ \operatorname{det} \frac{\partial^{2} s}{\partial q \partial Q} \neq 0 \] формулами \[ p=\frac{\partial s}{\partial q}, \quad p=-\frac{\partial s}{\partial Q} . \] М. Э. Казарян.