ПРОСТОГО СЛОЯ ПОТЕНЦИАЛ

выражение вида \[ u(x)=\int_{S} h(|x-y|) f(y) d \sigma(y), \] где $S$ - замкнутая поверхность Ляпунова в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2$, разделяющая $\mathbb{R}^{n}$ на внутреннюю область $D^{+}$и внешнюю $D^{-} ; f(y)-$ плотность потенциала - функция, заданная на $S ; h(|x-y|)$ - фундаментальное решение оператора Лапласа: \[ h(|x-y|)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{(n-2) \omega_{N}|x-y|^{N-2}}, \quad n \geqslant 3 ; \\ \frac{1}{2 \pi} \ln \frac{1}{|x-y|}, \quad n \geqslant 2 ; \end{array}\right. \] $\omega_{n}=2 \pi^{n / 2} / \Gamma(n / 2)-$ площадь единичной сферы в $\mathbb{R}^{n}$, $|x-y|-$ расстояние между точками $x$ и $y, d \sigma(y)$ - элемент площади $S$. Если $f(x) \in C^{(0)}(S)$, то п. с. п. $u(x)$ определен всюду в $\mathbb{R}^{n}$. П. с. п. представляет собой частный случай ньютонова потенциала, порождаемого массами, распределенными на поверхности $S$ с поверхностной плотностью $f(y)$, и обладает следующими свойствами. В $D^{+}$и $D^{-}$П. с. п. $u(x)$ имеет производные всех порядков, к-рые можно вычислять под знаком интеграла, и удовлетворяет Лапласа уравнению \[ \Delta u(x)=0, \] то есть является гармонической функцией. При $n \geqslant 3$ эта функция регулярна на бесконечности, $u(\infty)=0$. П. с. п. $u(x)$ непрерывен во всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$. При переходе через поверхность $S$ производная по направлению внешней нормали $n_{0}$ к $S$ в точке $y_{0} \in S$ терпит разрыв. Предельные значения нормальной производной из области $D^{+}$и из области $D^{-}$существуют и непрерывны всюду на $S$.

выражение вида \[ u(x)=\int_{S} h(|x-y|) f(y) d \sigma(y), \] где $S$ - замкнутая поверхность Ляпунова в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2$, разделяющая $\mathbb{R}^{n}$ на внутреннюю область $D^{+}$и внешнюю $D^{-} ; f(y)-$ плотность потенциала - функция, заданная на $S ; h(|x-y|)$ - фундаментальное решение оператора Лапласа: \[ h(|x-y|)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{(n-2) \omega_{N}|x-y|^{N-2}}, \quad n \geqslant 3 ; \\ \frac{1}{2 \pi} \ln \frac{1}{|x-y|}, \quad n \geqslant 2 ; \end{array}\right. \] $\omega_{n}=2 \pi^{n / 2} / \Gamma(n / 2)-$ площадь единичной сферы в $\mathbb{R}^{n}$, $|x-y|-$ расстояние между точками $x$ и $y, d \sigma(y)$ - элемент площади $S$. Если $f(x) \in C^{(0)}(S)$, то п. с. п. $u(x)$ определен всюду в $\mathbb{R}^{n}$. П. с. п. представляет собой частный случай ньютонова потенциала, порождаемого массами, распределенными на поверхности $S$ с поверхностной плотностью $f(y)$, и обладает следующими свойствами. В $D^{+}$и $D^{-}$П. с. п. $u(x)$ имеет производные всех порядков, к-рые можно вычислять под знаком интеграла, и удовлетворяет Лапласа уравнению \[ \Delta u(x)=0, \] то есть является гармонической функцией. При $n \geqslant 3$ эта функция регулярна на бесконечности, $u(\infty)=0$. П. с. п. $u(x)$ непрерывен во всем пространстве $\mathbb{R}^{n}$. При переходе через поверхность $S$ производная по направлению внешней нормали $n_{0}$ к $S$ в точке $y_{0} \in S$ терпит разрыв. Предельные значения нормальной производной из области $D^{+}$и из области $D^{-}$существуют и непрерывны всюду на $S$.