ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР

оператор, действующий в функциональных пространствах на дифференцируемом многообразии и локально по определенным правилам записываемый с помощью некоторой функции, обычно называемой символом П. о., и удовлетворяющей оценкам производных определенного типа, аналогичных оценкам производных полиномов, являющихся символами дифференциальных операторов. Пусть $\Omega$ - открытое подмножество в $\mathbb{R}^{n}, C_{0}^{\infty}(\Omega)$ - пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, принадлежащим $\Omega$. Простейший П.о. в $\Omega$ - это оператор $P: C_{0}^{\infty}(\Omega) \rightarrow C^{\infty}(\Omega)$, задаваемый формулой \[ P u(x)=(2 \pi)^{-n} \int \exp i x \cdot \xi p(x, \xi) \hat{u}(\xi) d \xi, \] где $u \in C_{0}^{\infty}(\Omega), \xi \in \mathbb{R}^{n}, d \xi$ - мера Лебега на $\mathbb{R}^{n}, x \cdot \xi$ - обычное скалярное произведение векторов $x$ и $\xi, \hat{u}(\xi)$ - преобразование Фурье функции $u$, то есть \[ \hat{u}(\xi)=\int \exp -i x \cdot \xi u(x) d x \] (интеграл здесь и выше берется по $\left.\mathbb{R}^{n}\right), p(x, \xi)$ - гладкая функция на $\Omega \times \mathbb{R}^{n}$, удовлетворяющая нек-рым условиям и называемая символом П.о. $P$. Оператор $P$ вида (1) обозначается также $p(x, D)$ или $p\left(x, D_{x}\right)$. Если \[ p(x, \xi)=\sum_{|\alpha| \leqslant m} p_{\alpha}(x) \xi^{\alpha} \] - многочлен от $\xi$ с коэффициентами $p_{\alpha} \in C^{\infty}(\Omega)$ [здесь $\alpha-$ мультииндекс, то есть $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), \alpha_{j} \geqslant 0, \alpha_{j}-$ целые, $\left.|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}, \xi^{\alpha}=\left(\xi_{1}^{\alpha_{1}}, \ldots, \xi_{n}^{\alpha_{n}}\right)\right]$, то $p(x, D)$ совпадает с дифференциальным оператором, получаемым, если в выражение для $p(x, \xi)$ вместо $\xi$ подставить вектор $D=\frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial x}$. Можно задавать П. о. в $\Omega$ с помощью двойных символов, то есть в виде: \[ P u=(2 \pi)^{-n} \iint \exp i(x-y) \cdot \xi a(x, y, \xi) u(y) d y d \xi . \] При $a(x, y, \xi)=p(x, \xi)$ эта формула переходит в (1). Символ $p(x, \xi)$ имеет следующее асимптотич. разложение: \[ \left.p(x, \xi) \sim \sum_{\alpha} \frac{1}{\alpha !} \partial_{\xi}^{\alpha} D_{y}^{\alpha} a(x, y, \xi)\right|_{y=x}, \] где $\alpha !=\alpha_{1} ! \ldots \alpha_{n}$ ! и суммирование ведется по всем мультииндексам. Роль П.о. состоит в том, что имеется ряд операций, выводящих за класс дифференциальных операторов, но сохраняющих класс П. о. Напр., резольвента и комплексные степени эллиптич. дифференциального оператора на компактном многообразии являются классич. П.о. Существуют разные варианты теории П.о., приспособленные к решению различных задач анализа и математич. физики. Часто возникают П. о. с параметром, необходимые, напр., для изучения резольвенты и асимптотики собственных значений. Важную роль играют различные варианты теории П.о. на $\mathbb{R}^{n}$, учитывающие эффекты, связанные с описанием поведения функции на бесконечности, и частично инспирированные математич. вопросами квантовой механики, возникающими при изучении квантования классич. систем. Частным случаем П. о. являются многомерные сингулярные интегральные и интегро-дифференциальные операторы, изучение к-рых подготовило появление теории П.о.

оператор, действующий в функциональных пространствах на дифференцируемом многообразии и локально по определенным правилам записываемый с помощью некоторой функции, обычно называемой символом П. о., и удовлетворяющей оценкам производных определенного типа, аналогичных оценкам производных полиномов, являющихся символами дифференциальных операторов. Пусть $\Omega$ - открытое подмножество в $\mathbb{R}^{n}, C_{0}^{\infty}(\Omega)$ - пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, принадлежащим $\Omega$. Простейший П.о. в $\Omega$ - это оператор $P: C_{0}^{\infty}(\Omega) \rightarrow C^{\infty}(\Omega)$, задаваемый формулой \[ P u(x)=(2 \pi)^{-n} \int \exp i x \cdot \xi p(x, \xi) \hat{u}(\xi) d \xi, \] где $u \in C_{0}^{\infty}(\Omega), \xi \in \mathbb{R}^{n}, d \xi$ - мера Лебега на $\mathbb{R}^{n}, x \cdot \xi$ - обычное скалярное произведение векторов $x$ и $\xi, \hat{u}(\xi)$ - преобразование Фурье функции $u$, то есть \[ \hat{u}(\xi)=\int \exp -i x \cdot \xi u(x) d x \] (интеграл здесь и выше берется по $\left.\mathbb{R}^{n}\right), p(x, \xi)$ - гладкая функция на $\Omega \times \mathbb{R}^{n}$, удовлетворяющая нек-рым условиям и называемая символом П.о. $P$. Оператор $P$ вида (1) обозначается также $p(x, D)$ или $p\left(x, D_{x}\right)$. Если \[ p(x, \xi)=\sum_{|\alpha| \leqslant m} p_{\alpha}(x) \xi^{\alpha} \] - многочлен от $\xi$ с коэффициентами $p_{\alpha} \in C^{\infty}(\Omega)$ [здесь $\alpha-$ мультииндекс, то есть $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), \alpha_{j} \geqslant 0, \alpha_{j}-$ целые, $\left.|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}, \xi^{\alpha}=\left(\xi_{1}^{\alpha_{1}}, \ldots, \xi_{n}^{\alpha_{n}}\right)\right]$, то $p(x, D)$ совпадает с дифференциальным оператором, получаемым, если в выражение для $p(x, \xi)$ вместо $\xi$ подставить вектор $D=\frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial x}$. Можно задавать П. о. в $\Omega$ с помощью двойных символов, то есть в виде: \[ P u=(2 \pi)^{-n} \iint \exp i(x-y) \cdot \xi a(x, y, \xi) u(y) d y d \xi . \] При $a(x, y, \xi)=p(x, \xi)$ эта формула переходит в (1). Символ $p(x, \xi)$ имеет следующее асимптотич. разложение: \[ \left.p(x, \xi) \sim \sum_{\alpha} \frac{1}{\alpha !} \partial_{\xi}^{\alpha} D_{y}^{\alpha} a(x, y, \xi)\right|_{y=x}, \] где $\alpha !=\alpha_{1} ! \ldots \alpha_{n}$ ! и суммирование ведется по всем мультииндексам. Роль П.о. состоит в том, что имеется ряд операций, выводящих за класс дифференциальных операторов, но сохраняющих класс П. о. Напр., резольвента и комплексные степени эллиптич. дифференциального оператора на компактном многообразии являются классич. П.о. Существуют разные варианты теории П.о., приспособленные к решению различных задач анализа и математич. физики. Часто возникают П. о. с параметром, необходимые, напр., для изучения резольвенты и асимптотики собственных значений. Важную роль играют различные варианты теории П.о. на $\mathbb{R}^{n}$, учитывающие эффекты, связанные с описанием поведения функции на бесконечности, и частично инспирированные математич. вопросами квантовой механики, возникающими при изучении квантования классич. систем. Частным случаем П. о. являются многомерные сингулярные интегральные и интегро-дифференциальные операторы, изучение к-рых подготовило появление теории П.о.