ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР; ФОРМУЛА КОМПОЗИЦИИ

формула, выражающая символ или асимптотическое разложение символа композиции двух псевдодифференциальных операторов через символы или асимптотические разложения символов сомножителей. Напр., для двух операторов $A, B$ в $\mathbb{R}^{n}$ с $q p$-символами $a(x, \xi)$, $b(x, \xi)$ класса $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{2 n}\right)$, положительно однородными по $(x, \xi)$ порядков $m_{1}, m_{2}$, композиция $C=A B$ имеет $q p$-символ $c(x, \xi)$, допускающий асимптотич. разложение \[ c(x, \xi) \sim \sum_{\alpha} \frac{(-i \hbar)^{|\alpha|}}{\alpha !} \partial_{\xi}^{\alpha} a(x, \xi) \partial_{x}^{\alpha} b(x, \xi), \] где $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), \alpha_{j} \geqslant 0$ - целые, $|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}$, \[ \alpha !=\alpha_{1} ! \ldots \alpha_{n} !, \quad \partial_{x}^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \ldots \partial x_{n}^{\alpha_{n}}} . \] Точный смысл этого разложения состоит в том, что при любом целом $N \geqslant 0$ и для любых $\gamma, \delta$ \[ \begin{gathered} \left|\partial_{\xi}^{\gamma} \partial_{x}^{\delta}\left[c(x, \xi)-\sum_{|\alpha| \leqslant N-1} \frac{(-i \hbar)^{|\alpha|}}{\alpha !} \partial_{\xi}^{\alpha} a(x, \xi) \partial_{x}^{\alpha} b(x, \xi)\right]\right| \leqslant \\ \leqslant C_{\gamma \delta N} \hbar^{N}(1+|x|+|\xi|)^{m_{1}+m_{2}-N} . \end{gathered} \]

формула, выражающая символ или асимптотическое разложение символа композиции двух псевдодифференциальных операторов через символы или асимптотические разложения символов сомножителей. Напр., для двух операторов $A, B$ в $\mathbb{R}^{n}$ с $q p$-символами $a(x, \xi)$, $b(x, \xi)$ класса $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{2 n}\right)$, положительно однородными по $(x, \xi)$ порядков $m_{1}, m_{2}$, композиция $C=A B$ имеет $q p$-символ $c(x, \xi)$, допускающий асимптотич. разложение \[ c(x, \xi) \sim \sum_{\alpha} \frac{(-i \hbar)^{|\alpha|}}{\alpha !} \partial_{\xi}^{\alpha} a(x, \xi) \partial_{x}^{\alpha} b(x, \xi), \] где $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right), \alpha_{j} \geqslant 0$ - целые, $|\alpha|=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{n}$, \[ \alpha !=\alpha_{1} ! \ldots \alpha_{n} !, \quad \partial_{x}^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}} \ldots \partial x_{n}^{\alpha_{n}}} . \] Точный смысл этого разложения состоит в том, что при любом целом $N \geqslant 0$ и для любых $\gamma, \delta$ \[ \begin{gathered} \left|\partial_{\xi}^{\gamma} \partial_{x}^{\delta}\left[c(x, \xi)-\sum_{|\alpha| \leqslant N-1} \frac{(-i \hbar)^{|\alpha|}}{\alpha !} \partial_{\xi}^{\alpha} a(x, \xi) \partial_{x}^{\alpha} b(x, \xi)\right]\right| \leqslant \\ \leqslant C_{\gamma \delta N} \hbar^{N}(1+|x|+|\xi|)^{m_{1}+m_{2}-N} . \end{gathered} \]