$А$-ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР

оператор в $\mathbb{R}^{n}$, определяемый по символу $H(s, p)$ формулой $\hat{H}\left(x,-i A^{-1} \frac{\partial}{\partial x}\right) f=\left(\frac{A}{2 \pi}\right)^{n} \int \exp [i A p(x-y)] H(x, p) f(y) d p d y$, где $A: E \rightarrow E-$ неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве, имеющий ограниченный обратный $A^{-1} ; H(x, p)$ - операторнозначная $C^{\infty}$-функция, разлагающаяся в асимптотический ряд \[ H(x, p) \sim \sum_{k=0}^{\infty} H_{k}(x, p) A^{-k} \] и удовлетворяющая оценке \[ \left\|D_{x}^{\alpha} D_{p}^{\beta} H(x, p)\right\| \leqslant C_{\alpha \beta}(1+|x|+|p|)^{m} \] с некоторым $m$. Разложение (1) понимается в том смысле, что для любого $N \geqslant 0$ оператор \[ A^{N+1}\left[H(x, p)-\sum_{k=0}^{N} H_{k}(x, p) A^{-k}\right] \] ограничен в $E$. С помощью разложения единицы определение $A-\Pi$. о. переносится на операторы на гладком многообразии $M$.

оператор в $\mathbb{R}^{n}$, определяемый по символу $H(s, p)$ формулой $\hat{H}\left(x,-i A^{-1} \frac{\partial}{\partial x}\right) f=\left(\frac{A}{2 \pi}\right)^{n} \int \exp [i A p(x-y)] H(x, p) f(y) d p d y$, где $A: E \rightarrow E-$ неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве, имеющий ограниченный обратный $A^{-1} ; H(x, p)$ - операторнозначная $C^{\infty}$-функция, разлагающаяся в асимптотический ряд \[ H(x, p) \sim \sum_{k=0}^{\infty} H_{k}(x, p) A^{-k} \] и удовлетворяющая оценке \[ \left\|D_{x}^{\alpha} D_{p}^{\beta} H(x, p)\right\| \leqslant C_{\alpha \beta}(1+|x|+|p|)^{m} \] с некоторым $m$. Разложение (1) понимается в том смысле, что для любого $N \geqslant 0$ оператор \[ A^{N+1}\left[H(x, p)-\sum_{k=0}^{N} H_{k}(x, p) A^{-k}\right] \] ограничен в $E$. С помощью разложения единицы определение $A-\Pi$. о. переносится на операторы на гладком многообразии $M$.