ПУАССОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

распределение вероятностей случайной величины $N$, принимающей целые неотрицательные значения $n=0,1,2, \ldots$ с вероятностями \[ P_{n}=\mathrm{P}\{N=n\}=\frac{\lambda^{n}}{n !} e^{-\lambda} \] где $\lambda$ - параметр распределения. Характеристич. функция П. р. имеет вид: \[ f(t)=\mathrm{E} e^{i N t}=\exp \left[\lambda\left(e^{i t}-1\right)\right] \] и поэтому семиинварианты любого порядка равны $\lambda$. Сумма независимых случайных величин $N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{s}$, имеющих П. р. с параметрами $\lambda_{1}, \lambda_{2} \ldots, \lambda_{s}$, подчиняется П. р. с параметром $\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{s}\right)$ и, обратно, если сумма $\left(N_{1}+N_{2}\right)$ двух независимых случайных величин $N_{1}$ и $N_{2}$ имеет П. р., то каждая случайная величина $N_{1}$ и $N_{2}$ подчинена П. р. П. р. было впервые получено С. Пуассоном (S. Poisson, 1837) как асимптотич. распределение вероятностей числа «успехов» $N$ в схеме Бернулли при большом числе испытаний $M$ и малой вероятности успеха $p$ : \[ \mathrm{P}\{N=n\}=C_{M}^{n} p^{n}(1-p)^{M-n} \rightarrow \frac{\lambda^{n}}{n !} e^{-\lambda}, \] при $M \rightarrow \infty, p \rightarrow 0, M p \rightarrow \lambda$. Это обстоятельство обуславливает то, что П. р. является хорошим приближением при моделировании многих явлений, связанных с появлением случайного числа редких слабозависимых событий в фиксированном промежутке времени и в ограниченной области пространства. Наряду с обыкновенным П. р. в математич. физике используется и так наз. обобщенное, или сложное, П. р. для вероятностей значений суммы $\left(\xi_{1}+\xi_{2}+\ldots+\xi_{N}\right)$ случайного числа $N$ одинаково распределенных случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$. При этом $N ; \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots-$ взаимно независимы и $N$ распределено согласно П. р. с параметром $\lambda$. Характеристич. функция $f(t)$ сложного П. р. имеет вид: \[ f(t)=\exp [\lambda(\psi(t)-1)] \] где $\psi(t)$ - характеристич. функция $\xi_{s}$ Если распределение вероятностей целой неотрицательной случайной величины $N$ определяется случайной величиной $\xi$ так, что условное распределение вероятностей $\mathrm{P}\{N=n \mid \xi=x\}$ является П. р. с параметром $\xi=x$, то оно называется составным П. р. и определяется формулой \[ P_{n}=\mathrm{P}\{N=n\}=\frac{1}{n !} \int_{0}^{\infty} d x p(x) x^{n} e^{-x}, \] где $p(x)$ - плотность распределения величины $\xi$. Характеристич. функция составного П. р. имеет вид: \[ f(t)=\mathrm{E} e^{i t N}=\varphi\left(i\left(1-e^{i t}\right)\right), \] где $\varphi(t)=\mathrm{E} e^{i t \xi}$. Составное П. р. находит применение в задачах квантовой оптики.

распределение вероятностей случайной величины $N$, принимающей целые неотрицательные значения $n=0,1,2, \ldots$ с вероятностями \[ P_{n}=\mathrm{P}\{N=n\}=\frac{\lambda^{n}}{n !} e^{-\lambda} \] где $\lambda$ - параметр распределения. Характеристич. функция П. р. имеет вид: \[ f(t)=\mathrm{E} e^{i N t}=\exp \left[\lambda\left(e^{i t}-1\right)\right] \] и поэтому семиинварианты любого порядка равны $\lambda$. Сумма независимых случайных величин $N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{s}$, имеющих П. р. с параметрами $\lambda_{1}, \lambda_{2} \ldots, \lambda_{s}$, подчиняется П. р. с параметром $\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{s}\right)$ и, обратно, если сумма $\left(N_{1}+N_{2}\right)$ двух независимых случайных величин $N_{1}$ и $N_{2}$ имеет П. р., то каждая случайная величина $N_{1}$ и $N_{2}$ подчинена П. р. П. р. было впервые получено С. Пуассоном (S. Poisson, 1837) как асимптотич. распределение вероятностей числа «успехов» $N$ в схеме Бернулли при большом числе испытаний $M$ и малой вероятности успеха $p$ : \[ \mathrm{P}\{N=n\}=C_{M}^{n} p^{n}(1-p)^{M-n} \rightarrow \frac{\lambda^{n}}{n !} e^{-\lambda}, \] при $M \rightarrow \infty, p \rightarrow 0, M p \rightarrow \lambda$. Это обстоятельство обуславливает то, что П. р. является хорошим приближением при моделировании многих явлений, связанных с появлением случайного числа редких слабозависимых событий в фиксированном промежутке времени и в ограниченной области пространства. Наряду с обыкновенным П. р. в математич. физике используется и так наз. обобщенное, или сложное, П. р. для вероятностей значений суммы $\left(\xi_{1}+\xi_{2}+\ldots+\xi_{N}\right)$ случайного числа $N$ одинаково распределенных случайных величин $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots$. При этом $N ; \xi_{1}, \xi_{2}, \ldots-$ взаимно независимы и $N$ распределено согласно П. р. с параметром $\lambda$. Характеристич. функция $f(t)$ сложного П. р. имеет вид: \[ f(t)=\exp [\lambda(\psi(t)-1)] \] где $\psi(t)$ - характеристич. функция $\xi_{s}$ Если распределение вероятностей целой неотрицательной случайной величины $N$ определяется случайной величиной $\xi$ так, что условное распределение вероятностей $\mathrm{P}\{N=n \mid \xi=x\}$ является П. р. с параметром $\xi=x$, то оно называется составным П. р. и определяется формулой \[ P_{n}=\mathrm{P}\{N=n\}=\frac{1}{n !} \int_{0}^{\infty} d x p(x) x^{n} e^{-x}, \] где $p(x)$ - плотность распределения величины $\xi$. Характеристич. функция составного П. р. имеет вид: \[ f(t)=\mathrm{E} e^{i t N}=\varphi\left(i\left(1-e^{i t}\right)\right), \] где $\varphi(t)=\mathrm{E} e^{i t \xi}$. Составное П. р. находит применение в задачах квантовой оптики.