ПУАССОНА СКОБКИ

важное понятие аналитической механики, введенное С. Пуассоном (S. Poisson, 1809) и получившее дальнейшее развитие в гамильтоновой механике (см. Гамильтонов формализм). П. с. могут быть обобщены на случай квантовой механики, а также классич. и квантовой теории поля. Скобкой Пуассона двух динамич. величин $f$ и $g$ нек-рой гамильтоновой системы называют выражение \[ \{f, g\}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial p_{k}} \frac{\partial g}{\partial q_{k}}-\frac{\partial f}{\partial q_{k}} \frac{\partial g}{\partial p_{k}}\right) \] где $f(q, p, t)$ и $g(q, p, t)$ - нек-рые функции так наз. гамильтоновых (канонических) переменных $q_{1}, \ldots, p_{n}(n-$ число степеней свободы системы). Встречается определение П. с. $\{f, g\}$, отличающееся от определения (1) множителем $(-1)$. Для обозначения П. с. могут использоваться также круглые $(f, g)$ или квадратные $[f, g]$ скобки. Иногда термин употребляется в единственном числе - «скобка Пуассона». Из определения (1) следуют свойства П. с.: \[ \begin{gathered} \{g, f\}=-\{f, g\} ; \\ \{\alpha f+\beta g, h\}=\alpha\{f, h\}+\beta\{g, h\}, \end{gathered} \] где $\alpha, \beta$ - нек-рые константы; \[ \begin{gathered} \{f g, h\}=\{f, h\} g+f\{g, h\} ; \\ \frac{\partial}{\partial t}\{f, g\}=\left\{\frac{\partial f}{\partial t}, g\right\}+\left\{f, \frac{\partial g}{\partial t}\right\} ; \\ \{f,\{g, h\}\}+\{h,\{f, g\}\}+\{g,\{h, f\}\} \equiv 0 \end{gathered} \] (тождество (V) - так наз. тождество Якоби). Важным свойством П.с. является их инвариантность относительно канонич. преобразований (инвариантность относительно перехода к другому набору канонич. переменных $\left.Q_{1}, \ldots, P_{n}\right)$ \[ \{f, g\}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial P_{k}} \frac{\partial g}{\partial Q_{k}}-\frac{\partial f}{\partial Q_{k}} \frac{\partial g}{\partial P_{k}}\right), \] причем оба набора переменных удовлетворяют Гамильтона уравнениям. Если одна из функций $f$ или $g$ совпадает с обобщенной координатой $q_{i}$ или обобщенным импульсом $p_{k}$, то \[ \left\{f, q_{i}\right\}=\frac{\partial f}{\partial p_{i}} ; \quad\left\{p_{k}, g\right\}=\frac{\partial g}{\partial q_{k}} . \] Если и вторая функция заменена на координату или импульс, то \[ \left\{q_{i}, q_{k}\right\}=0 ;\left\{p_{i}, p_{k}\right\}=0 ;\left\{p_{i}, q_{k}\right\}=\delta_{i k} . \] Выполнение условия (3) для какого-либо набора переменных $q_{i}, \ldots, p_{n}$ есть критерий каноничности этого набора. Замена $f$ на гамильтониан системы $H$, а $g$ - на $q_{i}$ или $p_{k}$ дает \[ \left\{H, q_{i}\right\}=\dot{q}_{i} ;\left\{H, p_{k}\right\}=\dot{p}_{k}, \] то есть соотношения, совпадающие с уравнениями Гамильтона. Однако наиболее полно проявляется важность понятия П. с. при рассмотрении полной производной по времени от нек-рой динамич. величины $F(q, p, t)$ : \[ \frac{d F}{d t}=\frac{\partial F}{\partial t}+\{H, F\} \] При выводе (5) использованы уравнения Гамильтона и определение П.с. (1). Для сохраняющейся со временем величины $F$ (так наз. интеграла движения) имеет место равенство: \[ \frac{\partial F}{\partial t}+\{H, F\}=0 \] принимающее в случае $F$, не зависящего явно от времени, вид: \[ \{H, F\}=0 . \] Из (5), (6) и свойств П.с. вытекает теорема Пуассона - П.с. двух интегралов движения $F$ и $G$ есть также интеграл движения: \[ \frac{d}{d t}\{F, G\}=0 . \] В квантовой механике, в к-рой роль классич. динамич. величин играют эрмитовы операторы, аналогом (1) являются так наз. квантовые скобки Пуассона \[ \{\hat{f}, \hat{g}\}_{\mathrm{KB}}=\frac{i}{\hbar}[\hat{f}, \hat{g}] \equiv \frac{i}{\hbar}(\hat{f} \hat{g}-\hat{g} \hat{f}) . \] [Определение этих скобок иногда также отличается от (9) множителем (-1).] Квантовые П. с. обладают теми же свойствами (I)-(V), что и классические, причем доказательство справедливости тождества Якоби является в квантовом случае более простым. Сохраняют свой вид соотношения (3), и тем самым коммутационное соотношение Борна - Йордана \[ \left[\hat{p}_{x}, \hat{x}\right]=-i \hbar \] представляет собой аналог соответствующей классич. формулы, что впервые использовано П. Дираком (P. Dirac) в построении формального математич. аппарата квантовой механики. Через квантовые П. с. выражается оператор, от- вечающий производной по времени нек-рой физич. величины $A$ : \[ \frac{d \hat{A}}{d t}=\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}+\{\hat{H}, \hat{A}\}_{\mathrm{KB}} \equiv \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{A}] . \] Наконец, сохраняет свой вид теорема Пуассона: умноженный на $i / \hbar$ коммутатор двух интегралов движения есть также интеграл движения. В квантовом случае теореме Пуассона может быть придана групповая интерпретация, если интегралы движения обусловлены той или иной группой симметрии задачи (посредством Нетер теоремы). В таком случае интегралы движения совпадают (с точностью до множителя) с генераторами группы симметрии квантовой системы $\hat{\Lambda}_{\alpha}$. Коммутатор какой-либо пары генераторов (являющийся в силу теоремы Пуассона интегралом движения) должен каким-либо образом выражаться через все эти генераторы. Обычно эта связь линейна: \[ \left[\hat{\Lambda}_{\alpha}, \hat{\Lambda}_{\beta}\right]=i C_{\alpha \beta}^{\gamma} \hat{\Lambda}_{\gamma} \] (по индексу $\gamma$ подразумевается суммирование). Формулы (11) фактически совпадают с соотношениями, определяющими алгебру Ли соответствующей группы симметрии квантовой системы, где $C_{\alpha \beta}^{\gamma}-$ так наз. структурные константы. Следует иметь в виду, что в физич. литературе генераторы, как правило, являются эрмитовыми операторами, тогда как в математич. литературе - антиэрмитовыми. По этой причине в правой части соотношения (11) возникает мнимая единица $i$ и возможно появление множителя $(-1)$. В ряде случаев складывается, в известном смысле, обратная ситуация, если не все из имеющихся в данной задаче интегралов движения связаны с явной (следующей из геометрич. соображений) группой симметрии. Если коммутатор любой пары интегралов движения линейно выражается через все интегралы движения \[ \left[\hat{M}_{\alpha}, \hat{M}_{\beta}\right]=i D_{\alpha \beta}^{\gamma} \hat{M}_{\gamma} \] можно попытаться найти группу, алгебра Ли к-рой описывается соотношениями (12). Если такая группа существует, то о ней говорят как о группе «скрытой» симметрии задачи (при этом числа $D_{\alpha \beta}^{\gamma}$ являются структурными константами этой группы). Следующие примеры иллюстрируют изложенное. 1. Свободная частица массы $m$ с импульсом $\boldsymbol{p}$ : \[ \hat{H}=\hat{\boldsymbol{p}}^{2} / 2 m \text {. } \] Группа симметрии - группа движений трехмерного пространства (совокупность трехмерных вращений и произвольных трансляций). Имеющиеся в данной задаче интегралы движения - компоненты импульса $\hat{\boldsymbol{p}}$ и момента импульса $\hat{\boldsymbol{L}}=[\hat{\boldsymbol{r}}, \hat{\boldsymbol{p}}]$, деленные на $\hbar$, представляют собой набор генераторов упомянутой группы. 2. Частица в трехмерном центральном поле: \[ \hat{H}=\hat{\boldsymbol{p}}^{2} / 2 m+U(r) \] Группа симметрии задачи - группа трехмерных вращений $O(3)$. Компоненты момента импульса $\hat{L}$ (в единицах $\hbar)$ являются генераторами группы $O(3)$. 3. Трехмерный изотропный осциллятор: \[ \hat{H}=\hat{\boldsymbol{p}}^{2} / 2 m+m \omega^{2} \boldsymbol{r}^{2} / 2 . \] Явная (геометрическая) симметрия задачи - O(3). Кроме момента импульса $\hat{\boldsymbol{L}}$ имеется еще три очевидных интеграла движения \[ \hat{H}_{k}=\frac{\hat{\boldsymbol{p}}_{k}^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2} x_{k}^{2}}{2} \] $k=1,2$, 3,- сохраняющиеся энергии трех независимых осцилляторов, отвечающих колебаниям вдоль трех декартовых осей. Они взаимно перестановочны. Коммутаторы вида $\left[\hat{H}_{k}, \hat{L}_{l}\right]$ порождают интегралы движения \[ K_{1}=\frac{p_{2} p_{3}}{m}+m \omega^{2} x_{2} x_{3} \] и т. п. Удобно перейти к следующим операторам: \[ \hat{A}_{l}^{k}=\hat{a}_{k}^{+} \hat{a}_{l} ; \quad \hat{a}_{l}=\frac{m \omega \hat{x}_{l}+i \hat{p}_{l}}{\sqrt{2 m \hbar \omega}} ; \quad \hat{a}_{k}^{+}=\frac{m \omega \hat{x}_{k}-i \hat{p}_{k}}{\sqrt{2 m \hbar \omega}}, \] через к-рые исходные интегралы движения выражаются в виде линейных комбинаций \[ \begin{gathered} \hat{H}_{1}=\hbar \omega\left(\hat{A}_{1}^{1}+\frac{1}{2}\right), \ldots, \\ \hat{K}_{1}=\hbar \omega\left(\hat{A}_{3}^{2}+\hat{A}_{2}^{3}\right), \quad \hat{L}_{1}=i \hbar\left(\hat{A}_{2}^{3}-\hat{A}_{3}^{2}\right) \end{gathered} \] и т. П. Алгебра Ли, связанная с операторами $\hat{A}_{l}^{k}$, описывается соотношениями \[ \left[\hat{A}_{i}^{j}, \hat{A}_{k}^{l}\right]=\delta_{i}^{l} A_{k}^{j}-\delta_{k}^{j} \hat{A}_{i}^{l} \] представляющими собой канонич. форму алгебры Ли группы трехмерных унитарных преобразований $U(3)-$ группы «скрытой» симметрии трехмерного изотропного осциллятора. Отсутствие множителя $i$ в правой части предыдущего соотношения обусловлено неэрмитовостью (вообще говоря) инфинитезимальных операторов $\hat{A}_{i}^{k}$. 4. Атом водорода. В атомных единицах $(e=\hbar=m=1)$ гамильтониан задачи имеет вид \[ \hat{H}=\hat{\boldsymbol{p}}^{2} / 2-1 / r \] Кроме момента импульса $\hat{\boldsymbol{L}}$ (безразмерного в используемых единицах) задача обладает специфическим векторным интегралом движения, так наз. вектором Рунге - Ленца: \[ \hat{\boldsymbol{A}}=\frac{\boldsymbol{r}}{r}+\frac{1}{2}[\hat{\boldsymbol{L}} \hat{\boldsymbol{p}}]-\frac{1}{2}[\hat{\boldsymbol{p}} \hat{\boldsymbol{L}}] \] Удобно ввести «нормированный» вектор Рунге - Ленца, имея в виду отрицательность энергии в связанных состояниях атома водорода: \[ \hat{\boldsymbol{N}}=\frac{1}{\sqrt{-2 \hat{H}}} \hat{\boldsymbol{A}} \] Коммутационные соотношения между операторами $\hat{L}_{\alpha}$ и $\hat{N}_{\beta}$ имеют вид: \[ \begin{gathered} {\left[\hat{L}_{\alpha}, \hat{L}_{\beta}\right]=i e_{\alpha \beta \gamma} \hat{L}_{\gamma} ; \quad\left[\hat{L}_{\alpha}, \hat{N}_{\beta}\right]=i e_{\alpha \beta \gamma} \hat{N}_{\gamma} ;} \\ {\left[\hat{N}_{\alpha}, \hat{N}_{\beta}\right]=i e_{\alpha \beta \gamma} \hat{L}_{\gamma} ;} \end{gathered} \] $e_{\alpha \beta \gamma}-$ полностью антисимметричный единичный псевдотензор в пространстве трех измерений. Последние соотношения представляют собой алгебру Ли группы вращений четырехмерного евклидова пространства $O(4)$ - группу «скрытой» симметрии атома водорода. Аналог П. с. может быть получен в классич. теории поля, если описание этого поля допускает применение гамильтонова формализма. Для двух динамич. величин $F$ и $G$, характеризующих поле как целое, то есть являющихся интегральными характеристиками поля и тем самым функционалами гамильтоновых переменных $\xi(\boldsymbol{r}, t)$ и $\pi(\boldsymbol{r}, t)$ (играющих роль обобщенных координат и импульсов гамильтоновой системы с конечным числом степеней свободы), П. с. определяются соотношением \[ \{F, G\}_{\text {Кл. поле }}=\iiint_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\delta F}{\delta \pi} \frac{\delta G}{\delta \xi}-\frac{\delta F}{\delta \xi} \frac{\delta G}{\delta \pi}\right) d^{3} \boldsymbol{r}, \] где $\delta / \delta \pi, \delta / \delta \xi$ - так наз. функциональные производные, имеющие в простейшем случае скалярного поля (и лагранжиана 1-го порядка) вид: \[ \frac{\delta F}{\delta \pi}=\frac{\partial f}{\partial \pi} ; \quad \frac{\delta G}{\delta \xi}=\frac{\partial g}{\partial \xi}-\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}\left(\frac{\partial q}{\partial \nabla \xi}\right), \] $f$ и $g$ - плотности величин $F$ и $G$ : \[ F=\iiint f(\xi(\boldsymbol{r}, t), \pi(\boldsymbol{r}, t), t) d^{3} \boldsymbol{r}, \] $G$ определяется аналогичным образом.

важное понятие аналитической механики, введенное С. Пуассоном (S. Poisson, 1809) и получившее дальнейшее развитие в гамильтоновой механике (см. Гамильтонов формализм). П. с. могут быть обобщены на случай квантовой механики, а также классич. и квантовой теории поля. Скобкой Пуассона двух динамич. величин $f$ и $g$ нек-рой гамильтоновой системы называют выражение \[ \{f, g\}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial p_{k}} \frac{\partial g}{\partial q_{k}}-\frac{\partial f}{\partial q_{k}} \frac{\partial g}{\partial p_{k}}\right) \] где $f(q, p, t)$ и $g(q, p, t)$ - нек-рые функции так наз. гамильтоновых (канонических) переменных $q_{1}, \ldots, p_{n}(n-$ число степеней свободы системы). Встречается определение П. с. $\{f, g\}$, отличающееся от определения (1) множителем $(-1)$. Для обозначения П. с. могут использоваться также круглые $(f, g)$ или квадратные $[f, g]$ скобки. Иногда термин употребляется в единственном числе - «скобка Пуассона». Из определения (1) следуют свойства П. с.: \[ \begin{gathered} \{g, f\}=-\{f, g\} ; \\ \{\alpha f+\beta g, h\}=\alpha\{f, h\}+\beta\{g, h\}, \end{gathered} \] где $\alpha, \beta$ - нек-рые константы; \[ \begin{gathered} \{f g, h\}=\{f, h\} g+f\{g, h\} ; \\ \frac{\partial}{\partial t}\{f, g\}=\left\{\frac{\partial f}{\partial t}, g\right\}+\left\{f, \frac{\partial g}{\partial t}\right\} ; \\ \{f,\{g, h\}\}+\{h,\{f, g\}\}+\{g,\{h, f\}\} \equiv 0 \end{gathered} \] (тождество (V) - так наз. тождество Якоби). Важным свойством П.с. является их инвариантность относительно канонич. преобразований (инвариантность относительно перехода к другому набору канонич. переменных $\left.Q_{1}, \ldots, P_{n}\right)$ \[ \{f, g\}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial P_{k}} \frac{\partial g}{\partial Q_{k}}-\frac{\partial f}{\partial Q_{k}} \frac{\partial g}{\partial P_{k}}\right), \] причем оба набора переменных удовлетворяют Гамильтона уравнениям. Если одна из функций $f$ или $g$ совпадает с обобщенной координатой $q_{i}$ или обобщенным импульсом $p_{k}$, то \[ \left\{f, q_{i}\right\}=\frac{\partial f}{\partial p_{i}} ; \quad\left\{p_{k}, g\right\}=\frac{\partial g}{\partial q_{k}} . \] Если и вторая функция заменена на координату или импульс, то \[ \left\{q_{i}, q_{k}\right\}=0 ;\left\{p_{i}, p_{k}\right\}=0 ;\left\{p_{i}, q_{k}\right\}=\delta_{i k} . \] Выполнение условия (3) для какого-либо набора переменных $q_{i}, \ldots, p_{n}$ есть критерий каноничности этого набора. Замена $f$ на гамильтониан системы $H$, а $g$ - на $q_{i}$ или $p_{k}$ дает \[ \left\{H, q_{i}\right\}=\dot{q}_{i} ;\left\{H, p_{k}\right\}=\dot{p}_{k}, \] то есть соотношения, совпадающие с уравнениями Гамильтона. Однако наиболее полно проявляется важность понятия П. с. при рассмотрении полной производной по времени от нек-рой динамич. величины $F(q, p, t)$ : \[ \frac{d F}{d t}=\frac{\partial F}{\partial t}+\{H, F\} \] При выводе (5) использованы уравнения Гамильтона и определение П.с. (1). Для сохраняющейся со временем величины $F$ (так наз. интеграла движения) имеет место равенство: \[ \frac{\partial F}{\partial t}+\{H, F\}=0 \] принимающее в случае $F$, не зависящего явно от времени, вид: \[ \{H, F\}=0 . \] Из (5), (6) и свойств П.с. вытекает теорема Пуассона - П.с. двух интегралов движения $F$ и $G$ есть также интеграл движения: \[ \frac{d}{d t}\{F, G\}=0 . \] В квантовой механике, в к-рой роль классич. динамич. величин играют эрмитовы операторы, аналогом (1) являются так наз. квантовые скобки Пуассона \[ \{\hat{f}, \hat{g}\}_{\mathrm{KB}}=\frac{i}{\hbar}[\hat{f}, \hat{g}] \equiv \frac{i}{\hbar}(\hat{f} \hat{g}-\hat{g} \hat{f}) . \] [Определение этих скобок иногда также отличается от (9) множителем (-1).] Квантовые П. с. обладают теми же свойствами (I)-(V), что и классические, причем доказательство справедливости тождества Якоби является в квантовом случае более простым. Сохраняют свой вид соотношения (3), и тем самым коммутационное соотношение Борна - Йордана \[ \left[\hat{p}_{x}, \hat{x}\right]=-i \hbar \] представляет собой аналог соответствующей классич. формулы, что впервые использовано П. Дираком (P. Dirac) в построении формального математич. аппарата квантовой механики. Через квантовые П. с. выражается оператор, от- вечающий производной по времени нек-рой физич. величины $A$ : \[ \frac{d \hat{A}}{d t}=\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}+\{\hat{H}, \hat{A}\}_{\mathrm{KB}} \equiv \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{A}] . \] Наконец, сохраняет свой вид теорема Пуассона: умноженный на $i / \hbar$ коммутатор двух интегралов движения есть также интеграл движения. В квантовом случае теореме Пуассона может быть придана групповая интерпретация, если интегралы движения обусловлены той или иной группой симметрии задачи (посредством Нетер теоремы). В таком случае интегралы движения совпадают (с точностью до множителя) с генераторами группы симметрии квантовой системы $\hat{\Lambda}_{\alpha}$. Коммутатор какой-либо пары генераторов (являющийся в силу теоремы Пуассона интегралом движения) должен каким-либо образом выражаться через все эти генераторы. Обычно эта связь линейна: \[ \left[\hat{\Lambda}_{\alpha}, \hat{\Lambda}_{\beta}\right]=i C_{\alpha \beta}^{\gamma} \hat{\Lambda}_{\gamma} \] (по индексу $\gamma$ подразумевается суммирование). Формулы (11) фактически совпадают с соотношениями, определяющими алгебру Ли соответствующей группы симметрии квантовой системы, где $C_{\alpha \beta}^{\gamma}-$ так наз. структурные константы. Следует иметь в виду, что в физич. литературе генераторы, как правило, являются эрмитовыми операторами, тогда как в математич. литературе - антиэрмитовыми. По этой причине в правой части соотношения (11) возникает мнимая единица $i$ и возможно появление множителя $(-1)$. В ряде случаев складывается, в известном смысле, обратная ситуация, если не все из имеющихся в данной задаче интегралов движения связаны с явной (следующей из геометрич. соображений) группой симметрии. Если коммутатор любой пары интегралов движения линейно выражается через все интегралы движения \[ \left[\hat{M}_{\alpha}, \hat{M}_{\beta}\right]=i D_{\alpha \beta}^{\gamma} \hat{M}_{\gamma} \] можно попытаться найти группу, алгебра Ли к-рой описывается соотношениями (12). Если такая группа существует, то о ней говорят как о группе «скрытой» симметрии задачи (при этом числа $D_{\alpha \beta}^{\gamma}$ являются структурными константами этой группы). Следующие примеры иллюстрируют изложенное. 1. Свободная частица массы $m$ с импульсом $\boldsymbol{p}$ : \[ \hat{H}=\hat{\boldsymbol{p}}^{2} / 2 m \text {. } \] Группа симметрии - группа движений трехмерного пространства (совокупность трехмерных вращений и произвольных трансляций). Имеющиеся в данной задаче интегралы движения - компоненты импульса $\hat{\boldsymbol{p}}$ и момента импульса $\hat{\boldsymbol{L}}=[\hat{\boldsymbol{r}}, \hat{\boldsymbol{p}}]$, деленные на $\hbar$, представляют собой набор генераторов упомянутой группы. 2. Частица в трехмерном центральном поле: \[ \hat{H}=\hat{\boldsymbol{p}}^{2} / 2 m+U(r) \] Группа симметрии задачи - группа трехмерных вращений $O(3)$. Компоненты момента импульса $\hat{L}$ (в единицах $\hbar)$ являются генераторами группы $O(3)$. 3. Трехмерный изотропный осциллятор: \[ \hat{H}=\hat{\boldsymbol{p}}^{2} / 2 m+m \omega^{2} \boldsymbol{r}^{2} / 2 . \] Явная (геометрическая) симметрия задачи - O(3). Кроме момента импульса $\hat{\boldsymbol{L}}$ имеется еще три очевидных интеграла движения \[ \hat{H}_{k}=\frac{\hat{\boldsymbol{p}}_{k}^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2} x_{k}^{2}}{2} \] $k=1,2$, 3,- сохраняющиеся энергии трех независимых осцилляторов, отвечающих колебаниям вдоль трех декартовых осей. Они взаимно перестановочны. Коммутаторы вида $\left[\hat{H}_{k}, \hat{L}_{l}\right]$ порождают интегралы движения \[ K_{1}=\frac{p_{2} p_{3}}{m}+m \omega^{2} x_{2} x_{3} \] и т. п. Удобно перейти к следующим операторам: \[ \hat{A}_{l}^{k}=\hat{a}_{k}^{+} \hat{a}_{l} ; \quad \hat{a}_{l}=\frac{m \omega \hat{x}_{l}+i \hat{p}_{l}}{\sqrt{2 m \hbar \omega}} ; \quad \hat{a}_{k}^{+}=\frac{m \omega \hat{x}_{k}-i \hat{p}_{k}}{\sqrt{2 m \hbar \omega}}, \] через к-рые исходные интегралы движения выражаются в виде линейных комбинаций \[ \begin{gathered} \hat{H}_{1}=\hbar \omega\left(\hat{A}_{1}^{1}+\frac{1}{2}\right), \ldots, \\ \hat{K}_{1}=\hbar \omega\left(\hat{A}_{3}^{2}+\hat{A}_{2}^{3}\right), \quad \hat{L}_{1}=i \hbar\left(\hat{A}_{2}^{3}-\hat{A}_{3}^{2}\right) \end{gathered} \] и т. П. Алгебра Ли, связанная с операторами $\hat{A}_{l}^{k}$, описывается соотношениями \[ \left[\hat{A}_{i}^{j}, \hat{A}_{k}^{l}\right]=\delta_{i}^{l} A_{k}^{j}-\delta_{k}^{j} \hat{A}_{i}^{l} \] представляющими собой канонич. форму алгебры Ли группы трехмерных унитарных преобразований $U(3)-$ группы «скрытой» симметрии трехмерного изотропного осциллятора. Отсутствие множителя $i$ в правой части предыдущего соотношения обусловлено неэрмитовостью (вообще говоря) инфинитезимальных операторов $\hat{A}_{i}^{k}$. 4. Атом водорода. В атомных единицах $(e=\hbar=m=1)$ гамильтониан задачи имеет вид \[ \hat{H}=\hat{\boldsymbol{p}}^{2} / 2-1 / r \] Кроме момента импульса $\hat{\boldsymbol{L}}$ (безразмерного в используемых единицах) задача обладает специфическим векторным интегралом движения, так наз. вектором Рунге - Ленца: \[ \hat{\boldsymbol{A}}=\frac{\boldsymbol{r}}{r}+\frac{1}{2}[\hat{\boldsymbol{L}} \hat{\boldsymbol{p}}]-\frac{1}{2}[\hat{\boldsymbol{p}} \hat{\boldsymbol{L}}] \] Удобно ввести «нормированный» вектор Рунге - Ленца, имея в виду отрицательность энергии в связанных состояниях атома водорода: \[ \hat{\boldsymbol{N}}=\frac{1}{\sqrt{-2 \hat{H}}} \hat{\boldsymbol{A}} \] Коммутационные соотношения между операторами $\hat{L}_{\alpha}$ и $\hat{N}_{\beta}$ имеют вид: \[ \begin{gathered} {\left[\hat{L}_{\alpha}, \hat{L}_{\beta}\right]=i e_{\alpha \beta \gamma} \hat{L}_{\gamma} ; \quad\left[\hat{L}_{\alpha}, \hat{N}_{\beta}\right]=i e_{\alpha \beta \gamma} \hat{N}_{\gamma} ;} \\ {\left[\hat{N}_{\alpha}, \hat{N}_{\beta}\right]=i e_{\alpha \beta \gamma} \hat{L}_{\gamma} ;} \end{gathered} \] $e_{\alpha \beta \gamma}-$ полностью антисимметричный единичный псевдотензор в пространстве трех измерений. Последние соотношения представляют собой алгебру Ли группы вращений четырехмерного евклидова пространства $O(4)$ - группу «скрытой» симметрии атома водорода. Аналог П. с. может быть получен в классич. теории поля, если описание этого поля допускает применение гамильтонова формализма. Для двух динамич. величин $F$ и $G$, характеризующих поле как целое, то есть являющихся интегральными характеристиками поля и тем самым функционалами гамильтоновых переменных $\xi(\boldsymbol{r}, t)$ и $\pi(\boldsymbol{r}, t)$ (играющих роль обобщенных координат и импульсов гамильтоновой системы с конечным числом степеней свободы), П. с. определяются соотношением \[ \{F, G\}_{\text {Кл. поле }}=\iiint_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\delta F}{\delta \pi} \frac{\delta G}{\delta \xi}-\frac{\delta F}{\delta \xi} \frac{\delta G}{\delta \pi}\right) d^{3} \boldsymbol{r}, \] где $\delta / \delta \pi, \delta / \delta \xi$ - так наз. функциональные производные, имеющие в простейшем случае скалярного поля (и лагранжиана 1-го порядка) вид: \[ \frac{\delta F}{\delta \pi}=\frac{\partial f}{\partial \pi} ; \quad \frac{\delta G}{\delta \xi}=\frac{\partial g}{\partial \xi}-\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}}\left(\frac{\partial q}{\partial \nabla \xi}\right), \] $f$ и $g$ - плотности величин $F$ и $G$ : \[ F=\iiint f(\xi(\boldsymbol{r}, t), \pi(\boldsymbol{r}, t), t) d^{3} \boldsymbol{r}, \] $G$ определяется аналогичным образом.