РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ

обобщение понятия спектральной меры, используемое в спектральном анализе несамосопряженных операторов и в теории квантового измерения. Пусть $\boldsymbol{H}$ - гильбертово пространство, $\boldsymbol{X}-$ измеримое пространство с $\sigma$-алгеброй измеримых подмножеств $\mathscr{B}(\mathfrak{X})$. Функция множеств $\mathscr{\mu}(B), B \in \mathscr{B}(\mathfrak{X})$, значениями к-рой являются ограниченные положительные операторы в $H$, называется разложением единицы, если: 1) $\boldsymbol{\mu}(\mathfrak{X})=I$, где $I$ - единичный оператор в $H ; 2)$ для любого конечного или счетного набора $\left\{B_{i}\right\}$ попарно непересекающихся измеримых подмножеств \[ \mathscr{\mu}\left(U_{i} B_{i}\right)=\Sigma_{i} \mu\left(B_{i}\right) \] где ряд сходится в слабой (сильной) операторной топологии. Если $\mu(B)^{2}=\Perp(B)$ для всех $B \in \mathscr{B}(\mathfrak{X})$, то Р. е. называется ортогональным (проекторнозначной мерой, спектральной мерой). Пример Р. е. дается формулой \[ \mu(B)=\int_{B} P(x) \mu(d x), B \in \mathscr{B}(\mathfrak{X}), \] где $P(x)$ - проекторы на векторы $e_{x}$ переполненной системы. Неортогональные Р. е. впервые появились в [1] в связи со спектральным разложением симметричных операторов и были систематически исследованы в [2], где доказано, в частности, что всякое Р. е. может быть расширено до ортогонального (см. Наймарка теорема). Относительно применений в квантовой теории см. Квантовое измерение.

обобщение понятия спектральной меры, используемое в спектральном анализе несамосопряженных операторов и в теории квантового измерения. Пусть $\boldsymbol{H}$ - гильбертово пространство, $\boldsymbol{X}-$ измеримое пространство с $\sigma$-алгеброй измеримых подмножеств $\mathscr{B}(\mathfrak{X})$. Функция множеств $\mathscr{\mu}(B), B \in \mathscr{B}(\mathfrak{X})$, значениями к-рой являются ограниченные положительные операторы в $H$, называется разложением единицы, если: 1) $\boldsymbol{\mu}(\mathfrak{X})=I$, где $I$ - единичный оператор в $H ; 2)$ для любого конечного или счетного набора $\left\{B_{i}\right\}$ попарно непересекающихся измеримых подмножеств \[ \mathscr{\mu}\left(U_{i} B_{i}\right)=\Sigma_{i} \mu\left(B_{i}\right) \] где ряд сходится в слабой (сильной) операторной топологии. Если $\mu(B)^{2}=\Perp(B)$ для всех $B \in \mathscr{B}(\mathfrak{X})$, то Р. е. называется ортогональным (проекторнозначной мерой, спектральной мерой). Пример Р. е. дается формулой \[ \mu(B)=\int_{B} P(x) \mu(d x), B \in \mathscr{B}(\mathfrak{X}), \] где $P(x)$ - проекторы на векторы $e_{x}$ переполненной системы. Неортогональные Р. е. впервые появились в [1] в связи со спектральным разложением симметричных операторов и были систематически исследованы в [2], где доказано, в частности, что всякое Р. е. может быть расширено до ортогонального (см. Наймарка теорема). Относительно применений в квантовой теории см. Квантовое измерение.