БОЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Статистически равновесная функция $f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{r})$ распределения по импульсам $\boldsymbol{p}$ и координатам $\boldsymbol{r}$ частиц идеального газа, молекулы которого подчиняются классической механике, во внешнем потенциальном поле: \[ f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{r})=A \exp \left\{-\frac{\frac{p^{2}}{2 m}+U(\boldsymbol{r})}{k T}\right\} . \] Здесь $k$ - постоянная Больцмана (универсальная постоянная $k=1,38 \cdot 10^{-16}$ эрг/град), $T-$ абсолютная температура, $p^{2} / 2 m-$ кинетич. энергия частицы, $U(\boldsymbol{r})-$ потенциальная энергия частицы в поле, константа $A$ определяется из условия нормировки по безразмерному фазовому объёму: \[ \iint f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{r}) \frac{d^{3} p d^{3} r}{h^{3}}=N \] где $N$ - полное число частиц, $h$ - постоянная Планка (универсальная постоянная $h=6,62 \cdot 10^{-27}$ эрг·сек), \[ d^{3} \boldsymbol{p}=d p_{x} d p_{y} d p_{z}, d^{3} \boldsymbol{x}=d x d y d z \] или из более обычного в кинетич. теории газов условия нормировки в пространстве скоростей и координат: \[ \begin{gathered} \iint f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{r}) d^{3} \boldsymbol{v} d^{3} \boldsymbol{r}=N, \\ \boldsymbol{v}=\boldsymbol{p} / m, \quad d^{3} \boldsymbol{v}=d v_{x} d v_{y} d v_{z} . \end{gathered} \] Б. р. есть следствие Больцмана статистики идеального газа; представляет собой частный случай Гиббса распределения \[ \rho\left(\boldsymbol{p}_{1}, \boldsymbol{r}_{1}, \ldots, \boldsymbol{p}_{N}, \boldsymbol{r}_{N}\right)=\frac{1}{z} e^{-\frac{H\left(p_{1}, \boldsymbol{r}_{1}, \ldots, p_{N}, \boldsymbol{r}_{N}\right)}{k T}} \] для идеального газа, когда \[ H=\sum_{i} \frac{p_{i}^{2}}{2 m}+\sum_{i} u\left(\boldsymbol{r}_{i}\right) \] и канонич. распределение Гиббса распадается на произведение Б. р. для отдельных частиц. Б. р.- предельный случай квантовых статистик идеального газа при достаточно высоких температурах, когда можно пренебречь квантовыми эффектами. При этом среднее число заполнения $i$-го квантового состояния частицы равно \[ \bar{n}_{i}=e^{\frac{\mu-\varepsilon_{i}}{k T}} \] где $\varepsilon_{i}$ - энергия, соответствующая $i$-му квантовому состоянию частицы, $\mu-$ химич. потенциал, определяемый из условия \[ \sum_{i} n_{i}=N \] Формула (2) справедлива при таких температурах и плотностях, когда среднее расстояние между частицами больше отношения постоянной Планка $h \mathrm{~K}$ модулю средней тепловой скорости \[ \left(\frac{V}{N}\right)^{1 / 3} \gg \frac{h}{\sqrt{m k T}} . \] Частным случаем Б. р. (1) при $U=0$ является Максвелла распределение \[ f(\boldsymbol{p})=\frac{N}{V}\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3 / 2} \exp \left\{\frac{\boldsymbol{p}^{2}}{2 m k T}\right\} \] Функцию распределения (1) иногда называют распределением Максвелла-Больцмана, а распределением Больцмана называют функцию распределения (1), проинтегрированную по всем импульсам частиц, представляющую плотность числа частиц в точке $\boldsymbol{r}$ : \[ n(\boldsymbol{r})=n_{0} \exp \left\{-\frac{U(\boldsymbol{r})}{k T}\right\} \] $n_{0}$ - плотность числа частиц, соответствующая точке, где $U=0$. Отношение плотностей числа частиц в различных точках зависит от разности потенциальных энергий, соответствующей этим точкам: \[ \frac{n_{1}}{n_{2}}=e^{-\frac{\Delta U}{k T}}, \] где $\Delta U=U\left(r_{1}\right)-U\left(r_{2}\right)$. В частном случае из (4) следует барометрическая формула, определяющая распределение плотности числа частиц в поле тяжести над земной поверхностью \[ n(z)=n_{0} e^{-\frac{m g z}{k T}} \] где $g$ - ускорение силы тяжести, $m$ - масса частицы, $z-$ высота над земной поверхностью, $n_{0}-$ плотность при $z=0$. Для смеси газов с различной массой Б. р. показывает, что распределение парциальных плотностей частиц для каждой из компонент независимо от других компонент. Для газа во вращающемся сосуде $U(\boldsymbol{r})$ есть поле центробежных сил: \[ U(\boldsymbol{r})=-\frac{m \omega^{2} \boldsymbol{r}^{2}}{2} \] где $\omega$ - угловая скорость вращения.

Статистически равновесная функция $f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{r})$ распределения по импульсам $\boldsymbol{p}$ и координатам $\boldsymbol{r}$ частиц идеального газа, молекулы которого подчиняются классической механике, во внешнем потенциальном поле: \[ f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{r})=A \exp \left\{-\frac{\frac{p^{2}}{2 m}+U(\boldsymbol{r})}{k T}\right\} . \] Здесь $k$ - постоянная Больцмана (универсальная постоянная $k=1,38 \cdot 10^{-16}$ эрг/град), $T-$ абсолютная температура, $p^{2} / 2 m-$ кинетич. энергия частицы, $U(\boldsymbol{r})-$ потенциальная энергия частицы в поле, константа $A$ определяется из условия нормировки по безразмерному фазовому объёму: \[ \iint f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{r}) \frac{d^{3} p d^{3} r}{h^{3}}=N \] где $N$ - полное число частиц, $h$ - постоянная Планка (универсальная постоянная $h=6,62 \cdot 10^{-27}$ эрг·сек), \[ d^{3} \boldsymbol{p}=d p_{x} d p_{y} d p_{z}, d^{3} \boldsymbol{x}=d x d y d z \] или из более обычного в кинетич. теории газов условия нормировки в пространстве скоростей и координат: \[ \begin{gathered} \iint f(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{r}) d^{3} \boldsymbol{v} d^{3} \boldsymbol{r}=N, \\ \boldsymbol{v}=\boldsymbol{p} / m, \quad d^{3} \boldsymbol{v}=d v_{x} d v_{y} d v_{z} . \end{gathered} \] Б. р. есть следствие Больцмана статистики идеального газа; представляет собой частный случай Гиббса распределения \[ \rho\left(\boldsymbol{p}_{1}, \boldsymbol{r}_{1}, \ldots, \boldsymbol{p}_{N}, \boldsymbol{r}_{N}\right)=\frac{1}{z} e^{-\frac{H\left(p_{1}, \boldsymbol{r}_{1}, \ldots, p_{N}, \boldsymbol{r}_{N}\right)}{k T}} \] для идеального газа, когда \[ H=\sum_{i} \frac{p_{i}^{2}}{2 m}+\sum_{i} u\left(\boldsymbol{r}_{i}\right) \] и канонич. распределение Гиббса распадается на произведение Б. р. для отдельных частиц. Б. р.- предельный случай квантовых статистик идеального газа при достаточно высоких температурах, когда можно пренебречь квантовыми эффектами. При этом среднее число заполнения $i$-го квантового состояния частицы равно \[ \bar{n}_{i}=e^{\frac{\mu-\varepsilon_{i}}{k T}} \] где $\varepsilon_{i}$ - энергия, соответствующая $i$-му квантовому состоянию частицы, $\mu-$ химич. потенциал, определяемый из условия \[ \sum_{i} n_{i}=N \] Формула (2) справедлива при таких температурах и плотностях, когда среднее расстояние между частицами больше отношения постоянной Планка $h \mathrm{~K}$ модулю средней тепловой скорости \[ \left(\frac{V}{N}\right)^{1 / 3} \gg \frac{h}{\sqrt{m k T}} . \] Частным случаем Б. р. (1) при $U=0$ является Максвелла распределение \[ f(\boldsymbol{p})=\frac{N}{V}\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3 / 2} \exp \left\{\frac{\boldsymbol{p}^{2}}{2 m k T}\right\} \] Функцию распределения (1) иногда называют распределением Максвелла-Больцмана, а распределением Больцмана называют функцию распределения (1), проинтегрированную по всем импульсам частиц, представляющую плотность числа частиц в точке $\boldsymbol{r}$ : \[ n(\boldsymbol{r})=n_{0} \exp \left\{-\frac{U(\boldsymbol{r})}{k T}\right\} \] $n_{0}$ - плотность числа частиц, соответствующая точке, где $U=0$. Отношение плотностей числа частиц в различных точках зависит от разности потенциальных энергий, соответствующей этим точкам: \[ \frac{n_{1}}{n_{2}}=e^{-\frac{\Delta U}{k T}}, \] где $\Delta U=U\left(r_{1}\right)-U\left(r_{2}\right)$. В частном случае из (4) следует барометрическая формула, определяющая распределение плотности числа частиц в поле тяжести над земной поверхностью \[ n(z)=n_{0} e^{-\frac{m g z}{k T}} \] где $g$ - ускорение силы тяжести, $m$ - масса частицы, $z-$ высота над земной поверхностью, $n_{0}-$ плотность при $z=0$. Для смеси газов с различной массой Б. р. показывает, что распределение парциальных плотностей частиц для каждой из компонент независимо от других компонент. Для газа во вращающемся сосуде $U(\boldsymbol{r})$ есть поле центробежных сил: \[ U(\boldsymbol{r})=-\frac{m \omega^{2} \boldsymbol{r}^{2}}{2} \] где $\omega$ - угловая скорость вращения.