РАСПАД СТУПЕНЬКИ

свойство решений $u(x, t)$ нелинейных эволюционных уравнений, стремящихся на бесконечности (то есть при $x \rightarrow \pm \infty$ ) к различным постоянным $C_{ \pm}\left(C_{+} \neq C_{-}\right)$. Такие решения с течением времени становятся осциллирующими функциями в любой конечной области изменения $x$, а в окрестности фронта распадаются на солитоны. Асимптотика таких решений при $t \rightarrow+\infty$ моделирует осцилляционную структуру бесстолкновительных ударных волн в диспергирующих средах (см. [1], [2]). Асимптотика решения $u(x, t)$ задачи Коши для уравнения Кортевега - де Фриса с монотонными начальными данными $u_{0}(x)$, удовлетворяющими условиям \[ u_{0}(x) \rightarrow\left\{\begin{array}{cc} -C^{2}, & x \rightarrow-\infty \\ 0, & x \rightarrow+\infty \end{array}\right. \] построена А. В. Гуревичем и Л. П. Питаевским [2] в виде модулированной кноидальной волны: \[ u(x, t) \sim \gamma+\frac{2 a}{s^{2}} \mathrm{dn}^{2}\left[\left(\frac{a}{6 s^{2}}\right)^{1 / 2}(x-V t), s\right] . \] Здесь $\operatorname{dn}(y, s)$ - эллиптич. функции Якоби, параметры \[ a=a(x, t), \quad s=s(x, t), \quad \gamma=\gamma(x, t) \quad \text { и } \quad V=2 a \frac{2-s}{s^{2}}+6 \gamma \] являются медленно меняющимися функциями $x, t$ и описываются уравнением гидродинамич. типа (см. Уизема метод). Формула (1) описывает модулированные колебания решения в уиземовской зоне. Исследование решения задачи Коши для уравнения Кортевега - де Фриса с начальными данными типа ступеньки, полученного обратной задачи рассеяния методом (см. [3]), показывает, что в окрестности фронта из него выделяются солитоны, число к-рых неограниченно растет. А именно, в случае начальных данных общего вида, удовлетворяющих условиям (1), в области $x>4 C^{2} t-\frac{1}{2 C} \ln t^{N}$ справедлива асимптотич. формула \[ \begin{gathered} u(x, t) \sim-\sum_{n=1}^{m} \frac{2 k_{n}^{2}}{\cosh ^{2}\left[k_{n} x-4 k_{n}^{3} t+\Phi_{n}\right]}- \\ -\sum_{n=1}^{[(N+1) / 2]} \frac{2 C^{2}}{\cosh ^{2}\left[C x-4 C^{3} t-\frac{1}{2 C} \ln t^{n+1 / 2}+\Psi_{n}\right]}+O\left(t^{-1 / 2}\right), \end{gathered} \] где $k_{n}^{2}\left(k_{n}^{2}>C^{2}\right)$ - собственные значения $L$-оператора (см. Обратной задачи рассеяния метод), $\Phi_{n}$ и $\Psi_{n}$ выражаются через данные рассеяния в начальный момент времени, $N$ - любое натуральное число. В первую сумму в (3) входят обычные солитоны, порождаемые дискретным спектром $L$-оператора, а во вторую - солитоны, порождаемые однократным непрерывным спектром, существование к-рого обеспечивается нелокализованностью соответствующего потенциала $L$-оператора. Солитоны второй группы, названные асимптотическими, удовлетворяют уравнению Кортевега - де Фриса лишь асимптотически при больших временах, и расстояние между ними растет логарифмически по времени. Аналогичные явления распада на бесконечные серии асимптотич. солитонов нелокализованных решений более сложной структуры имеют место и для других вполне интегрируемых эволюционных уравнений (см. [4]-[7]). Построены также решения уравнений Кадомцева - Петвиашвили, распадающиеся при больших временах на бесконечную серию криволинейных солитонов (см. [7]).

свойство решений $u(x, t)$ нелинейных эволюционных уравнений, стремящихся на бесконечности (то есть при $x \rightarrow \pm \infty$ ) к различным постоянным $C_{ \pm}\left(C_{+} \neq C_{-}\right)$. Такие решения с течением времени становятся осциллирующими функциями в любой конечной области изменения $x$, а в окрестности фронта распадаются на солитоны. Асимптотика таких решений при $t \rightarrow+\infty$ моделирует осцилляционную структуру бесстолкновительных ударных волн в диспергирующих средах (см. [1], [2]). Асимптотика решения $u(x, t)$ задачи Коши для уравнения Кортевега - де Фриса с монотонными начальными данными $u_{0}(x)$, удовлетворяющими условиям \[ u_{0}(x) \rightarrow\left\{\begin{array}{cc} -C^{2}, & x \rightarrow-\infty \\ 0, & x \rightarrow+\infty \end{array}\right. \] построена А. В. Гуревичем и Л. П. Питаевским [2] в виде модулированной кноидальной волны: \[ u(x, t) \sim \gamma+\frac{2 a}{s^{2}} \mathrm{dn}^{2}\left[\left(\frac{a}{6 s^{2}}\right)^{1 / 2}(x-V t), s\right] . \] Здесь $\operatorname{dn}(y, s)$ - эллиптич. функции Якоби, параметры \[ a=a(x, t), \quad s=s(x, t), \quad \gamma=\gamma(x, t) \quad \text { и } \quad V=2 a \frac{2-s}{s^{2}}+6 \gamma \] являются медленно меняющимися функциями $x, t$ и описываются уравнением гидродинамич. типа (см. Уизема метод). Формула (1) описывает модулированные колебания решения в уиземовской зоне. Исследование решения задачи Коши для уравнения Кортевега - де Фриса с начальными данными типа ступеньки, полученного обратной задачи рассеяния методом (см. [3]), показывает, что в окрестности фронта из него выделяются солитоны, число к-рых неограниченно растет. А именно, в случае начальных данных общего вида, удовлетворяющих условиям (1), в области $x>4 C^{2} t-\frac{1}{2 C} \ln t^{N}$ справедлива асимптотич. формула \[ \begin{gathered} u(x, t) \sim-\sum_{n=1}^{m} \frac{2 k_{n}^{2}}{\cosh ^{2}\left[k_{n} x-4 k_{n}^{3} t+\Phi_{n}\right]}- \\ -\sum_{n=1}^{[(N+1) / 2]} \frac{2 C^{2}}{\cosh ^{2}\left[C x-4 C^{3} t-\frac{1}{2 C} \ln t^{n+1 / 2}+\Psi_{n}\right]}+O\left(t^{-1 / 2}\right), \end{gathered} \] где $k_{n}^{2}\left(k_{n}^{2}>C^{2}\right)$ - собственные значения $L$-оператора (см. Обратной задачи рассеяния метод), $\Phi_{n}$ и $\Psi_{n}$ выражаются через данные рассеяния в начальный момент времени, $N$ - любое натуральное число. В первую сумму в (3) входят обычные солитоны, порождаемые дискретным спектром $L$-оператора, а во вторую - солитоны, порождаемые однократным непрерывным спектром, существование к-рого обеспечивается нелокализованностью соответствующего потенциала $L$-оператора. Солитоны второй группы, названные асимптотическими, удовлетворяют уравнению Кортевега - де Фриса лишь асимптотически при больших временах, и расстояние между ними растет логарифмически по времени. Аналогичные явления распада на бесконечные серии асимптотич. солитонов нелокализованных решений более сложной структуры имеют место и для других вполне интегрируемых эволюционных уравнений (см. [4]-[7]). Построены также решения уравнений Кадомцева - Петвиашвили, распадающиеся при больших временах на бесконечную серию криволинейных солитонов (см. [7]).