РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

соответствие между макроскопическими наблюдаемыми величинами $A(\vec{x}, t)$, являющимися полями в физическом пространстве-времени $(\vec{x}, t)$ и соответствующими им микроскопическими динамическими переменными $a(p, q, \vec{x}, t)$, которые зависят от координат фазового пространства системы $q=\vec{q}_{1}, \ldots, \vec{q}_{N}$; $p=\vec{p}_{1}, \ldots, \vec{p}_{N} ; N-$ число частиц в системе. Это соответствие задает отображение пространства микросостояний системы на физич. пространство макроскопич. наблюдаемых, поэтому величину $A(\vec{x}, t)$ можно трактовать как функционал от $a(p, q, \vec{x}, t)$ \[ A(\vec{x}, t) \equiv\langle a(p, q, \vec{x}, t)\rangle . \] На функционал (1) накладывают естественные ограничения: \[ \begin{gathered} \left\langle c_{1} a_{1}(p, q, \vec{x}, t)+c_{2} a_{2}(p, q, \vec{x}, t)\right\rangle=, \\ =c_{1}\left\langle a_{1}(p, q, \vec{x}, t)\right\rangle+c_{2}\left\langle a_{2}(p, q, \vec{x}, t)\right\rangle, \\ \langle c\rangle=c, \end{gathered} \] где $c, c_{1}, c_{2}-$ произвольные постоянные. Функционал, удовлетворяющий условиям (2)-(3), можно представить в виде: \[ A(\vec{x}, t)=\int d q d p a(p, q, \vec{x}, t) f(q, p) . \] Функция $f(q, p)$ определена в фазовом пространстве системы и в силу (3) удовлетворяет условию \[ \int d q d p f(q, p)=1 . \] Функции $f(q, p)$, пригодные для построения функционала (4), называются функциями распределения в фазовом пространстве. Постулируется, что макроскопич. состояние системы в данный момент времени полностью определяется нек-рой функцией распределения $f(q, p)$. Наблюдаемое макроскопич. значение $A(\vec{x}, t)$ микроскопич. динамич. переменной $a(p, q, \vec{x}, t)$, по определению, выражается соотношением (4). Если $f(q, p) \geqslant 0$, то Р. ф. можно интерпретировать как плотность вероятности нахождения системы в точке фазового пространства $(q, p)$. Конкретный выбор функции $f(q, p)$ не является задачей механики. Она должна наиболее полно отображать доступную наблюдателю информацию о состоянии системы. На практике при исследовании системы $N$ тождественных частиц нормировка (5) не всегда удобна, так как не обеспечивает корректный предельный переход от квантовой статистики к классической. Поэтому предпочтительнее использовать нормировку \[ \int f(q ; p) d \Gamma=1, \] где $d \Gamma=\frac{d q d p}{N !(2 \pi \hbar)^{3 N}}-$ безразмерный элемент фазового объема. Тогда макроскопич. значение любой микроскопич. динамич. переменной будет определяться соотношением \[ A(\vec{x}, t)=\int d \Gamma a(p, q, \vec{x}, t) f(q, p) . \] Интегрирование в (6) соответствует суммированию по всем различным состояниям. Тем самым учитывается, что перестановка тождественных частиц в квантовой механике не меняет состояния и это свойство должно сохраняться и в предельном случае классич. статистич. механики. Множитель $1 / n !$ при фазовом объеме был введен Дж. Гиббсом (J. Gibbs), что позволило разрешить одноименный парадокс, заключающийся в возрастании энтропии при смешении одинаковых газов при одинаковых температуре и давлении. A. В. Солдатов.

соответствие между макроскопическими наблюдаемыми величинами $A(\vec{x}, t)$, являющимися полями в физическом пространстве-времени $(\vec{x}, t)$ и соответствующими им микроскопическими динамическими переменными $a(p, q, \vec{x}, t)$, которые зависят от координат фазового пространства системы $q=\vec{q}_{1}, \ldots, \vec{q}_{N}$; $p=\vec{p}_{1}, \ldots, \vec{p}_{N} ; N-$ число частиц в системе. Это соответствие задает отображение пространства микросостояний системы на физич. пространство макроскопич. наблюдаемых, поэтому величину $A(\vec{x}, t)$ можно трактовать как функционал от $a(p, q, \vec{x}, t)$ \[ A(\vec{x}, t) \equiv\langle a(p, q, \vec{x}, t)\rangle . \] На функционал (1) накладывают естественные ограничения: \[ \begin{gathered} \left\langle c_{1} a_{1}(p, q, \vec{x}, t)+c_{2} a_{2}(p, q, \vec{x}, t)\right\rangle=, \\ =c_{1}\left\langle a_{1}(p, q, \vec{x}, t)\right\rangle+c_{2}\left\langle a_{2}(p, q, \vec{x}, t)\right\rangle, \\ \langle c\rangle=c, \end{gathered} \] где $c, c_{1}, c_{2}-$ произвольные постоянные. Функционал, удовлетворяющий условиям (2)-(3), можно представить в виде: \[ A(\vec{x}, t)=\int d q d p a(p, q, \vec{x}, t) f(q, p) . \] Функция $f(q, p)$ определена в фазовом пространстве системы и в силу (3) удовлетворяет условию \[ \int d q d p f(q, p)=1 . \] Функции $f(q, p)$, пригодные для построения функционала (4), называются функциями распределения в фазовом пространстве. Постулируется, что макроскопич. состояние системы в данный момент времени полностью определяется нек-рой функцией распределения $f(q, p)$. Наблюдаемое макроскопич. значение $A(\vec{x}, t)$ микроскопич. динамич. переменной $a(p, q, \vec{x}, t)$, по определению, выражается соотношением (4). Если $f(q, p) \geqslant 0$, то Р. ф. можно интерпретировать как плотность вероятности нахождения системы в точке фазового пространства $(q, p)$. Конкретный выбор функции $f(q, p)$ не является задачей механики. Она должна наиболее полно отображать доступную наблюдателю информацию о состоянии системы. На практике при исследовании системы $N$ тождественных частиц нормировка (5) не всегда удобна, так как не обеспечивает корректный предельный переход от квантовой статистики к классической. Поэтому предпочтительнее использовать нормировку \[ \int f(q ; p) d \Gamma=1, \] где $d \Gamma=\frac{d q d p}{N !(2 \pi \hbar)^{3 N}}-$ безразмерный элемент фазового объема. Тогда макроскопич. значение любой микроскопич. динамич. переменной будет определяться соотношением \[ A(\vec{x}, t)=\int d \Gamma a(p, q, \vec{x}, t) f(q, p) . \] Интегрирование в (6) соответствует суммированию по всем различным состояниям. Тем самым учитывается, что перестановка тождественных частиц в квантовой механике не меняет состояния и это свойство должно сохраняться и в предельном случае классич. статистич. механики. Множитель $1 / n !$ при фазовом объеме был введен Дж. Гиббсом (J. Gibbs), что позволило разрешить одноименный парадокс, заключающийся в возрастании энтропии при смешении одинаковых газов при одинаковых температуре и давлении. A. В. Солдатов.