БОЛЬЦМАНА УРАВНЕНИЕ

нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее временную эволюцию частиц разреженного газа. Б. у. имеет вид: \[ \frac{\partial f(t, \vec{p}, \vec{q})}{\partial t}+\left(\vec{p} \circ \nabla_{\vec{q}} f\right)+\left(\vec{F} \circ \nabla_{\vec{p}} f\right)=j(f, f), \] где $(0, \infty) \times \mathbb{R}^{3} \times D_{\ni}(t, \vec{p}, \vec{q}) \rightarrow f(t, \vec{p}, \vec{q})$ - плотность функции распределения числа частиц, $\vec{p}, \vec{q}-$ соответственно импульс и координата частицы, $D \subset \mathbb{R}^{3}-$ область, в к-рой содержится газ, $\vec{F}-$ массовая плотность внешних сил. Билинейный оператор $j(f, f)$ - интеграл столкновений, задаваемый в точке $(t, \vec{p}, \vec{q})$ формулами: \[ \begin{gathered} j(f, f)=\int_{\mathbb{R}^{3} \times \Sigma}\left[f(t, \vec{p}, \vec{q}) f\left(t, \overrightarrow{p_{1}^{\prime}}, \vec{q}\right)-f(t, \vec{p}, \vec{q}) f\left(t, \overrightarrow{p_{1}}, \vec{q}\right)\right] \times \\ \times B\left(\left|\vec{p}-\overrightarrow{p_{1}}\right|,\left|\vec{p}-\overrightarrow{p_{1}}\right|^{-1}\left(\left(\vec{p}-\overrightarrow{p_{1}}\right) \circ \vec{n}\right)\right) d \overrightarrow{p_{1}} d \vec{n}, \\ \Sigma=\left\{\vec{n} \in \mathbb{R}^{3}|| \vec{n} \mid=1\right\}, \\ \overrightarrow{p^{\prime}}=\vec{p}-\vec{n}\left(\left(\vec{p}-\overrightarrow{p_{1}}\right) \circ \vec{n}\right), \quad \overrightarrow{p_{1}^{\prime}}=\overrightarrow{p_{1}}+\vec{n}\left(\left(\vec{p}-\overrightarrow{p_{1}}\right) \circ \vec{n}\right) . \end{gathered} \] Неотрицательная непрерывная на $(0, \infty) \times(0,1)$ функция $B$, называемая дифференциальным сечением рассеяния, однозначно определяется межчастичным потенциалом взаимодействия. Б. у. получается при предельном переходе малой плотности, называемом также пределом (предельным переходом) Больцмана-Грэда. Имеются строгие результаты для нек-рых классов взаимодействий решения задачи Коши для Б. у. (см. [3]). См. также Линеаризованное уравнение Больцмана.

нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее временную эволюцию частиц разреженного газа. Б. у. имеет вид: \[ \frac{\partial f(t, \vec{p}, \vec{q})}{\partial t}+\left(\vec{p} \circ \nabla_{\vec{q}} f\right)+\left(\vec{F} \circ \nabla_{\vec{p}} f\right)=j(f, f), \] где $(0, \infty) \times \mathbb{R}^{3} \times D_{\ni}(t, \vec{p}, \vec{q}) \rightarrow f(t, \vec{p}, \vec{q})$ - плотность функции распределения числа частиц, $\vec{p}, \vec{q}-$ соответственно импульс и координата частицы, $D \subset \mathbb{R}^{3}-$ область, в к-рой содержится газ, $\vec{F}-$ массовая плотность внешних сил. Билинейный оператор $j(f, f)$ - интеграл столкновений, задаваемый в точке $(t, \vec{p}, \vec{q})$ формулами: \[ \begin{gathered} j(f, f)=\int_{\mathbb{R}^{3} \times \Sigma}\left[f(t, \vec{p}, \vec{q}) f\left(t, \overrightarrow{p_{1}^{\prime}}, \vec{q}\right)-f(t, \vec{p}, \vec{q}) f\left(t, \overrightarrow{p_{1}}, \vec{q}\right)\right] \times \\ \times B\left(\left|\vec{p}-\overrightarrow{p_{1}}\right|,\left|\vec{p}-\overrightarrow{p_{1}}\right|^{-1}\left(\left(\vec{p}-\overrightarrow{p_{1}}\right) \circ \vec{n}\right)\right) d \overrightarrow{p_{1}} d \vec{n}, \\ \Sigma=\left\{\vec{n} \in \mathbb{R}^{3}|| \vec{n} \mid=1\right\}, \\ \overrightarrow{p^{\prime}}=\vec{p}-\vec{n}\left(\left(\vec{p}-\overrightarrow{p_{1}}\right) \circ \vec{n}\right), \quad \overrightarrow{p_{1}^{\prime}}=\overrightarrow{p_{1}}+\vec{n}\left(\left(\vec{p}-\overrightarrow{p_{1}}\right) \circ \vec{n}\right) . \end{gathered} \] Неотрицательная непрерывная на $(0, \infty) \times(0,1)$ функция $B$, называемая дифференциальным сечением рассеяния, однозначно определяется межчастичным потенциалом взаимодействия. Б. у. получается при предельном переходе малой плотности, называемом также пределом (предельным переходом) Больцмана-Грэда. Имеются строгие результаты для нек-рых классов взаимодействий решения задачи Коши для Б. у. (см. [3]). См. также Линеаризованное уравнение Больцмана.