РАСХОДИМОСТЬ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

термин, указывающий на некорректность определения квантовополевых величин в рамках формального применения метода теории возмущений. Р. проявляются в Р. фейнмановских интегралов в различных областях 4-мерных импульсов, что и объясняет происхождение этого термина. Различают два типа Р.: ультрафиолетовые расходимости и инфракрасные расходимости. Ультрафиолетовые Р. обусловлены локальным характером взаимодействия квантовых полей, а физич. причиной инфракрасных Р. является дальнодействующий характер полей с нулевыми массами. В качестве математич. причины ультрафиолетовых Р. можно назвать некорректность перемножения пропагаторов (причинных функций свободных полей), из к-рых «строятся» фейнмановские диаграммы и к-рые представляют собой обобщенные функции, обладающие сингулярностями. При попытке определения таких произведений с помощью интегралов сверточного типа от соответствующих преобразований Фурье (см. Фейнмана диаграмма) эти интегралы оказываются расходящимися в области больших 4-мерных импульсов. Инфракрасные же Р. проявляются в виде Р. фейнмановских интегралов в различных областях малых импульсов. Чтобы придать смысл расходящимся фейнмановским амплитудам (диаграммам), используется стандартный прием, основанный на введении регуляризации. Вместо (бессмысленной) расходящейся величины рассматривается регуляризованная, к-рая при стремлении параметра регуляризации к своему предельному «физическому» значению превращается в исходную фейнмановскую амплитуду. В результате информация об ультрафиолетовых и инфракрасных Р. выражается в сингулярных свойствах регуляризованных величин по параметрам регуляризации. Напр., аналитическая регуляризация состоит в замене пропагатора скалярной частицы \[ \frac{1}{m^{2}-p^{2}-i 0} \text { на } \frac{1}{\left(m^{2}-p^{2}-i 0\right)^{\lambda+1}}, \] где $p^{2}=p_{0}^{2}-\vec{p}^{2}, p=\left(p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)-4$-мерный импульс, $m-$ масса, а $\lambda \in \mathbb{C}$ - регуляризующий параметр. Вообще говоря, пропагатор каждой линии регуляризуется своим параметром $\lambda_{l}$. Аналитически регуляризованная фейнмановская диаграмма представляет собой мероморфную функцию этих параметров с ультрафиолетовыми и инфракрасными сериями полюсов, соответствующих поддиаграммам. Другим примером регуляризации с комплексным параметром является размерная регуляризация, основанная на использовании комплексной размерности пространства-времени. При вычислениях фейнмановских диаграмм она сводится рецептурно к замене в используемых формулах Р. пространства-времени $d=4$ на $d \in \mathbb{C}$. Размерно регуляризованные фейнмановские диаграммы представляют собой мероморфные функции параметра $d$, а наличие ультрафиолетовых или инфракрасных Р. отражается в полюсах по параметру $\varepsilon=(4-d) / 2$, характеризующему отклонение параметра регуляризации от физич. значения $d=4$. Примером регуляризации, предназначенной только для ультрафиолетовых Р., является обрезание фейнмановских интегралов при больших петлевых импульсах, а также регуляризация Паули-Вилларса, состоящая в замене \[ \frac{1}{m^{2}-p^{2}-i 0} \text { на } \frac{1}{m^{2}-p^{2}-i 0}-\frac{1}{M^{2}-p^{2}-i 0} \text {. } \] При устремлении массивного параметра $M$ к бесконечности восстанавливается исходный пропагатор. Для регуляризации инфракрасных Р. стандартной является замена \[ \frac{1}{m^{2}-p^{2}-i 0} \text { на } \frac{1}{m^{2}-p^{2}-i \varepsilon} \text { при } \varepsilon>0 \text {. } \] Ультрафиолетовые Р. устраняются перенормировкой ( $R$-операцией; см. Перенормировка в квантовой теории поля). В перенормированных фейнмановских диаграммах можно снять ультрафиолетовую регуляризацию, то есть перейти к физич. значениям регуляризующих параметров: $\lambda=0$ для аналитич. регуляризации и $\varepsilon=0-$ для размерной. Что касается инфракрасных Р., то они встречаются разных видов, причем в физически осмысленных квантовополевых моделях часть инфракрасных Р. вообще отсутствует, а часть Р. сокращается, если рассмотреть сечения рассеяния, имеющие непосредственный физич. смысл.

термин, указывающий на некорректность определения квантовополевых величин в рамках формального применения метода теории возмущений. Р. проявляются в Р. фейнмановских интегралов в различных областях 4-мерных импульсов, что и объясняет происхождение этого термина. Различают два типа Р.: ультрафиолетовые расходимости и инфракрасные расходимости. Ультрафиолетовые Р. обусловлены локальным характером взаимодействия квантовых полей, а физич. причиной инфракрасных Р. является дальнодействующий характер полей с нулевыми массами. В качестве математич. причины ультрафиолетовых Р. можно назвать некорректность перемножения пропагаторов (причинных функций свободных полей), из к-рых «строятся» фейнмановские диаграммы и к-рые представляют собой обобщенные функции, обладающие сингулярностями. При попытке определения таких произведений с помощью интегралов сверточного типа от соответствующих преобразований Фурье (см. Фейнмана диаграмма) эти интегралы оказываются расходящимися в области больших 4-мерных импульсов. Инфракрасные же Р. проявляются в виде Р. фейнмановских интегралов в различных областях малых импульсов. Чтобы придать смысл расходящимся фейнмановским амплитудам (диаграммам), используется стандартный прием, основанный на введении регуляризации. Вместо (бессмысленной) расходящейся величины рассматривается регуляризованная, к-рая при стремлении параметра регуляризации к своему предельному «физическому» значению превращается в исходную фейнмановскую амплитуду. В результате информация об ультрафиолетовых и инфракрасных Р. выражается в сингулярных свойствах регуляризованных величин по параметрам регуляризации. Напр., аналитическая регуляризация состоит в замене пропагатора скалярной частицы \[ \frac{1}{m^{2}-p^{2}-i 0} \text { на } \frac{1}{\left(m^{2}-p^{2}-i 0\right)^{\lambda+1}}, \] где $p^{2}=p_{0}^{2}-\vec{p}^{2}, p=\left(p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)-4$-мерный импульс, $m-$ масса, а $\lambda \in \mathbb{C}$ - регуляризующий параметр. Вообще говоря, пропагатор каждой линии регуляризуется своим параметром $\lambda_{l}$. Аналитически регуляризованная фейнмановская диаграмма представляет собой мероморфную функцию этих параметров с ультрафиолетовыми и инфракрасными сериями полюсов, соответствующих поддиаграммам. Другим примером регуляризации с комплексным параметром является размерная регуляризация, основанная на использовании комплексной размерности пространства-времени. При вычислениях фейнмановских диаграмм она сводится рецептурно к замене в используемых формулах Р. пространства-времени $d=4$ на $d \in \mathbb{C}$. Размерно регуляризованные фейнмановские диаграммы представляют собой мероморфные функции параметра $d$, а наличие ультрафиолетовых или инфракрасных Р. отражается в полюсах по параметру $\varepsilon=(4-d) / 2$, характеризующему отклонение параметра регуляризации от физич. значения $d=4$. Примером регуляризации, предназначенной только для ультрафиолетовых Р., является обрезание фейнмановских интегралов при больших петлевых импульсах, а также регуляризация Паули-Вилларса, состоящая в замене \[ \frac{1}{m^{2}-p^{2}-i 0} \text { на } \frac{1}{m^{2}-p^{2}-i 0}-\frac{1}{M^{2}-p^{2}-i 0} \text {. } \] При устремлении массивного параметра $M$ к бесконечности восстанавливается исходный пропагатор. Для регуляризации инфракрасных Р. стандартной является замена \[ \frac{1}{m^{2}-p^{2}-i 0} \text { на } \frac{1}{m^{2}-p^{2}-i \varepsilon} \text { при } \varepsilon>0 \text {. } \] Ультрафиолетовые Р. устраняются перенормировкой ( $R$-операцией; см. Перенормировка в квантовой теории поля). В перенормированных фейнмановских диаграммах можно снять ультрафиолетовую регуляризацию, то есть перейти к физич. значениям регуляризующих параметров: $\lambda=0$ для аналитич. регуляризации и $\varepsilon=0-$ для размерной. Что касается инфракрасных Р., то они встречаются разных видов, причем в физически осмысленных квантовополевых моделях часть инфракрасных Р. вообще отсутствует, а часть Р. сокращается, если рассмотреть сечения рассеяния, имеющие непосредственный физич. смысл.