РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

придание смысла расходящимся выражениям с помощью подходящего предельного процесса. Р. тесно связана с классич. методами суммирования расходящихся рядов и интегралов: применяется в теории обобщенных функций, в квантовой теории поля и в других областях теоретич. физики. Каждая локально суммируемая функция $f(x)$ в области $O \subset \mathbb{R}^{n}$ задает распределение (обобщенную функцию) $f \in D^{\prime}(O)$ по правилу \[ (f, \varphi)=\int f(x) \varphi(x) d^{n} x, \quad \varphi \in D(O) \] (такое распределение называется регулярным). Если же $f(x)$ не является локально суммируемой, то интеграл справа расходится и для придания ему смысла используется Р. При этом различные Р. порождают различные распределения, и выбор конкретной Р. диктуется решаемой физич. задачей. Пример. Функция $x^{-1}$ не является локально суммируемой в $\mathbb{R}^{\mathrm{i}}$. Она имеет регуляризации $p x^{-1},(x+i O)^{-1}$, $(x-i 0)^{-1}$, где \[ \begin{gathered} \left(p \frac{1}{x}, \varphi\right)=\text { v.p. } \int \frac{\varphi(x)}{x} d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow+0}\left\{\int_{-\infty}^{-\varepsilon}+\int_{+\varepsilon}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x} d x\right\}, \\ \left(\frac{1}{x+i 0}, \varphi\right)=\lim _{\varepsilon \rightarrow+0} \int \frac{\varphi(x)}{x+i 0} d x, \quad \varphi \in D\left(\mathbb{R}^{1}\right), \end{gathered} \] (v.p. означает главное значение интеграла). Остальные Р. функции $x^{-1}$ получаются линейными комбинациями приведенных. Р. применяется также для представления данного распределения в виде предела последовательности регулярных распределений. Напр., дельта-функция Дирака имеет Р. \[ (\delta(x), \varphi(x))=\varphi(0)=\lim _{\varepsilon \rightarrow+0} \frac{1}{\pi} \int \frac{\varepsilon}{x^{2}+\varepsilon^{2}} \varphi(x) d x, \quad \varphi \in D\left(\mathbb{R}^{1}\right) . \] Обычно Р. распределений используется при перемножении распределений. Напр., \[ \left(\frac{1}{x+i 0} \frac{1}{x+i 0}, \varphi\right)=\left(\frac{1}{(x+i 0)^{2}}, \varphi\right)=\lim _{\varepsilon \rightarrow+0} \int \frac{\varphi(x) d x}{(x+i \varepsilon)^{2}}, \quad \varphi \in D\left(\mathbb{R}^{1}\right) . \] Известный физич. пример - перемножение одночастотных функций в квантовой теории поля. Часто, напр. при перемножении причинных функций, такая процедура не приводит к однозначному ответу и требует доопределения, согласованного с физич. контекстом задачи (см. Ультрафиолетовая расходимость, Перенормировка). Пример подобного доопределения - Боголюбова - Парасюка R-операция. О других конкретных приемах Р., применяемых в физич. приложениях, см. в ст. Регуляризация расходимостей в квантовой теории поля.

придание смысла расходящимся выражениям с помощью подходящего предельного процесса. Р. тесно связана с классич. методами суммирования расходящихся рядов и интегралов: применяется в теории обобщенных функций, в квантовой теории поля и в других областях теоретич. физики. Каждая локально суммируемая функция $f(x)$ в области $O \subset \mathbb{R}^{n}$ задает распределение (обобщенную функцию) $f \in D^{\prime}(O)$ по правилу \[ (f, \varphi)=\int f(x) \varphi(x) d^{n} x, \quad \varphi \in D(O) \] (такое распределение называется регулярным). Если же $f(x)$ не является локально суммируемой, то интеграл справа расходится и для придания ему смысла используется Р. При этом различные Р. порождают различные распределения, и выбор конкретной Р. диктуется решаемой физич. задачей. Пример. Функция $x^{-1}$ не является локально суммируемой в $\mathbb{R}^{\mathrm{i}}$. Она имеет регуляризации $p x^{-1},(x+i O)^{-1}$, $(x-i 0)^{-1}$, где \[ \begin{gathered} \left(p \frac{1}{x}, \varphi\right)=\text { v.p. } \int \frac{\varphi(x)}{x} d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow+0}\left\{\int_{-\infty}^{-\varepsilon}+\int_{+\varepsilon}^{+\infty} \frac{\varphi(x)}{x} d x\right\}, \\ \left(\frac{1}{x+i 0}, \varphi\right)=\lim _{\varepsilon \rightarrow+0} \int \frac{\varphi(x)}{x+i 0} d x, \quad \varphi \in D\left(\mathbb{R}^{1}\right), \end{gathered} \] (v.p. означает главное значение интеграла). Остальные Р. функции $x^{-1}$ получаются линейными комбинациями приведенных. Р. применяется также для представления данного распределения в виде предела последовательности регулярных распределений. Напр., дельта-функция Дирака имеет Р. \[ (\delta(x), \varphi(x))=\varphi(0)=\lim _{\varepsilon \rightarrow+0} \frac{1}{\pi} \int \frac{\varepsilon}{x^{2}+\varepsilon^{2}} \varphi(x) d x, \quad \varphi \in D\left(\mathbb{R}^{1}\right) . \] Обычно Р. распределений используется при перемножении распределений. Напр., \[ \left(\frac{1}{x+i 0} \frac{1}{x+i 0}, \varphi\right)=\left(\frac{1}{(x+i 0)^{2}}, \varphi\right)=\lim _{\varepsilon \rightarrow+0} \int \frac{\varphi(x) d x}{(x+i \varepsilon)^{2}}, \quad \varphi \in D\left(\mathbb{R}^{1}\right) . \] Известный физич. пример - перемножение одночастотных функций в квантовой теории поля. Часто, напр. при перемножении причинных функций, такая процедура не приводит к однозначному ответу и требует доопределения, согласованного с физич. контекстом задачи (см. Ультрафиолетовая расходимость, Перенормировка). Пример подобного доопределения - Боголюбова - Парасюка R-операция. О других конкретных приемах Р., применяемых в физич. приложениях, см. в ст. Регуляризация расходимостей в квантовой теории поля.