РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА; МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО (МКРГ-МЕТОД) В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

практическая реализация преобразования ренормализационной группы (РГ-преобразования) в реальном пространстве с помощью численного метода Монте-Карло. Этот метод применим к перенормируемым теориям, для к-рых изменение радиуса обрезания $a \rightarrow a^{\prime}$ можно скомпенсировать одновременным изменением константы связи $g \rightarrow g^{\prime}$, так что никакие физич. величины при этом не изменятся. Для решеточной формулировки квантовой теории роль радиуса обрезания играет постоянная решетки $a$, к-рую из-за дискретности нельзя менять произвольно. Чтобы уменьшить влияние конечного размера решетки, удобно при РГ-преобразовании уменьшить в два раза число $L$ узлов по каждой из осей $\left(L \rightarrow L^{\prime}=L / 2\right)$, сохранив тем самым постоянство пространственного размера решетки $L \cdot a$. Программа осуществления дискретного РГ-преобразования в решеточных калибровочных теориях с помощью численного интегрирования методом Монте-Карло была предложена в 1976 К. Вильсоном (K. Wilson). Важную роль в развитии этого подхода сыграли работы А. А. Мигдала (1975) и Л. Каданова (L. Kadanoff) (1976), в к-рых РГ-преобразование выполнялось приближенно с помощью аналитич. формул. Излагаемый ниже современный статус проблемы основан на результатах, полученных в 1984-85 независимо несколькими группами ученых. Центральное место в МКРГ-методе занимает численный алгоритм, позволяющий выполнять дискретное РГ-преобразование. Пусть $U$ обозначает совокупность переменных, описывающих систему на исходной решетке шага $a$ (напр., совокупность значений спиновой переменной в узлах решетки), а $U^{1}$ - аналогичную совокупность переменных для новой решетки шага $2 a$. В задачах статистич. физики переменные $U^{1}$ часто называют блок-спиновыми переменными, а переход от переменных $U$ к переменным $U^{1}$ - переходом к блок-спиновым переменным. Полное число степеней свободы уменьшается при этом в $2^{d}$ раза для $d$-мерной решетки. Действие $S^{1}\left(U^{1}\right)$ для новой системы получается из старого действия $S(U)$ усреднением по переменным $U$ в тех узлах (ребрах в случае калибровочной теории) решетки, к-рые исчезли при переходе от левой решетки к правой. Именно при этом усреднении используется численный метод Монте-Карло. МКРГ-метод позволяет получить $S^{1}\left(U^{1}\right)$, стартовав с $S(U)$. Такое дискретное РГ-преобразование можно последовательно применить несколько раз, после чего полученная последовательность действий $S^{(n)}\left(U^{n}\right)$ определяет фиксированные точки, расположение РГ-траектории, по к-рой решеточная система приближается к своему непрерывному пределу, и зависимость $g^{\prime}$ от $g$. Поскольку для асимптотически свободных теорий эта зависимость определяется при $g \rightarrow 0$ теорией возмущений, проводилось сравнение численных расчетов зависимости $g^{\prime}$ от $g$ с предсказанием теории возмущений. Обнаруженное согласие в той области значений $g$, где обычно производятся численные расчеты методом Монте-Карло, явилось наиболее важным результатом, полученным для квантовой хромодинамики с помощью МКРГ-метода. Ю. М. Макеенко.

практическая реализация преобразования ренормализационной группы (РГ-преобразования) в реальном пространстве с помощью численного метода Монте-Карло. Этот метод применим к перенормируемым теориям, для к-рых изменение радиуса обрезания $a \rightarrow a^{\prime}$ можно скомпенсировать одновременным изменением константы связи $g \rightarrow g^{\prime}$, так что никакие физич. величины при этом не изменятся. Для решеточной формулировки квантовой теории роль радиуса обрезания играет постоянная решетки $a$, к-рую из-за дискретности нельзя менять произвольно. Чтобы уменьшить влияние конечного размера решетки, удобно при РГ-преобразовании уменьшить в два раза число $L$ узлов по каждой из осей $\left(L \rightarrow L^{\prime}=L / 2\right)$, сохранив тем самым постоянство пространственного размера решетки $L \cdot a$. Программа осуществления дискретного РГ-преобразования в решеточных калибровочных теориях с помощью численного интегрирования методом Монте-Карло была предложена в 1976 К. Вильсоном (K. Wilson). Важную роль в развитии этого подхода сыграли работы А. А. Мигдала (1975) и Л. Каданова (L. Kadanoff) (1976), в к-рых РГ-преобразование выполнялось приближенно с помощью аналитич. формул. Излагаемый ниже современный статус проблемы основан на результатах, полученных в 1984-85 независимо несколькими группами ученых. Центральное место в МКРГ-методе занимает численный алгоритм, позволяющий выполнять дискретное РГ-преобразование. Пусть $U$ обозначает совокупность переменных, описывающих систему на исходной решетке шага $a$ (напр., совокупность значений спиновой переменной в узлах решетки), а $U^{1}$ - аналогичную совокупность переменных для новой решетки шага $2 a$. В задачах статистич. физики переменные $U^{1}$ часто называют блок-спиновыми переменными, а переход от переменных $U$ к переменным $U^{1}$ - переходом к блок-спиновым переменным. Полное число степеней свободы уменьшается при этом в $2^{d}$ раза для $d$-мерной решетки. Действие $S^{1}\left(U^{1}\right)$ для новой системы получается из старого действия $S(U)$ усреднением по переменным $U$ в тех узлах (ребрах в случае калибровочной теории) решетки, к-рые исчезли при переходе от левой решетки к правой. Именно при этом усреднении используется численный метод Монте-Карло. МКРГ-метод позволяет получить $S^{1}\left(U^{1}\right)$, стартовав с $S(U)$. Такое дискретное РГ-преобразование можно последовательно применить несколько раз, после чего полученная последовательность действий $S^{(n)}\left(U^{n}\right)$ определяет фиксированные точки, расположение РГ-траектории, по к-рой решеточная система приближается к своему непрерывному пределу, и зависимость $g^{\prime}$ от $g$. Поскольку для асимптотически свободных теорий эта зависимость определяется при $g \rightarrow 0$ теорией возмущений, проводилось сравнение численных расчетов зависимости $g^{\prime}$ от $g$ с предсказанием теории возмущений. Обнаруженное согласие в той области значений $g$, где обычно производятся численные расчеты методом Монте-Карло, явилось наиболее важным результатом, полученным для квантовой хромодинамики с помощью МКРГ-метода. Ю. М. Макеенко.