РИМАНА ТЕОРЕМА О КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ

для любой односвязной области $D$ существует однолистное конформное отображение $f$ на одну из трех канонических областей: 1) риманову сферу $\overline{\mathbb{C}}$; 2) конечную комплексную плоскость $\mathbb{C}$; 3) единичный круг $U$. Любое другое отображение имеет вид $\varphi \circ f$, где $\varphi$ - дробно-линейное преобразование $f(D)$. Единственность конформного отображения $f$ гарантируется, в частности, условиями нормировки $f\left(z_{0}\right)=w_{0}$ и $\arg f\left(z_{0}\right)=\alpha$, где $z_{0} \in D, w_{0} \in f(D)$ и $0 \leqslant \alpha \leqslant 2 \pi-$ наперед заданные величины. Оригинальное доказательство Р. т., восходящее к Б. Риману (B. Riemann, 1851), в значительной мере использовало физич. представления и содержало пробелы в обосновании Дирихле принципа, устраненные впоследствии Д. Гильбертом (D. Hilbert, конец 19 в.). Р. т. является основной в геометрич. теории функций комплексного переменного и широко применяется при доказательстве теорем существования в математич. физике, аэро- и гидродинамике, теории упругости, электро- и магнитостатике и т. д. Р. т. допускает обобщение для многосвязных областей, римановых поверхностей (см. [2]) и квазиконформных отображений (см. [3]). Распространение Р. т. на случай биголоморфных отображений в $\mathbb{C}^{n}$ изобилует значительными трудностями (см. [4]).

для любой односвязной области $D$ существует однолистное конформное отображение $f$ на одну из трех канонических областей: 1) риманову сферу $\overline{\mathbb{C}}$; 2) конечную комплексную плоскость $\mathbb{C}$; 3) единичный круг $U$. Любое другое отображение имеет вид $\varphi \circ f$, где $\varphi$ - дробно-линейное преобразование $f(D)$. Единственность конформного отображения $f$ гарантируется, в частности, условиями нормировки $f\left(z_{0}\right)=w_{0}$ и $\arg f\left(z_{0}\right)=\alpha$, где $z_{0} \in D, w_{0} \in f(D)$ и $0 \leqslant \alpha \leqslant 2 \pi-$ наперед заданные величины. Оригинальное доказательство Р. т., восходящее к Б. Риману (B. Riemann, 1851), в значительной мере использовало физич. представления и содержало пробелы в обосновании Дирихле принципа, устраненные впоследствии Д. Гильбертом (D. Hilbert, конец 19 в.). Р. т. является основной в геометрич. теории функций комплексного переменного и широко применяется при доказательстве теорем существования в математич. физике, аэро- и гидродинамике, теории упругости, электро- и магнитостатике и т. д. Р. т. допускает обобщение для многосвязных областей, римановых поверхностей (см. [2]) и квазиконформных отображений (см. [3]). Распространение Р. т. на случай биголоморфных отображений в $\mathbb{C}^{n}$ изобилует значительными трудностями (см. [4]).