РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО

пространство, точки которого однозначно задаются координатами \[ x=\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right) \] (быть может, локальными) и в котором определен метрический тензор $g_{i j}$. Число $n$ называется размерностью пространства. В случае, когда Р. п. не допускает введения единой системы координат (напр., ее нет на сфере), предполагается, что на нем задана структура многообразия. Это означает, что Р. п. разбито на области $U_{1}, U_{2}, \ldots$, причем в каждой области $U_{p}$ заданы свои координаты $x_{p}^{1}, \ldots, x_{p}^{n}$; требуется, чтобы для пересекающихся пар областей $U_{p}, U_{q}$ координаты $x_{p}^{1}, \ldots, x_{p}^{n}$ гладко выражались через координаты $x_{q}^{1}, \ldots, x_{q}^{n}$ и наоборот. В каждой области $U_{p}$ задается метрич. тензор $g_{i j}^{p}\left(x_{p}\right)$, причем на пересечении $U_{p}$ и $U_{q}$ компоненты $g_{i j}^{p}$ и $g_{k l}^{q}$ связаны тензорным законом преобразования: \[ g_{i j}^{p}\left[x_{p}\left(x_{q}\right)\right] \frac{\partial x_{p}^{i}}{\partial x_{q}^{k}} \frac{\partial x_{p}^{j}}{\partial x_{q}^{l}}=g_{k l}^{q}\left(x_{q}\right) . \] Простейшим примером Р. п. является евклидово пространство, где в прямоугольных координатах метрич. тензор \[ g_{i j}(x)=\delta_{i j} \] где $\delta_{i j}$ - символ Кронекера. Если тензор $g_{i j}$ задает индефинитную метрику, то пространство называется псевдоримановым. Простейшим примером таких пространств является четырехмерное пространство-время специальной теории относительности (пространство Минковского). Геометрия Р. п. составляет предмет римановой геометрии. Псевдоримановы пространства изучаются общей теорией относительности.

пространство, точки которого однозначно задаются координатами \[ x=\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right) \] (быть может, локальными) и в котором определен метрический тензор $g_{i j}$. Число $n$ называется размерностью пространства. В случае, когда Р. п. не допускает введения единой системы координат (напр., ее нет на сфере), предполагается, что на нем задана структура многообразия. Это означает, что Р. п. разбито на области $U_{1}, U_{2}, \ldots$, причем в каждой области $U_{p}$ заданы свои координаты $x_{p}^{1}, \ldots, x_{p}^{n}$; требуется, чтобы для пересекающихся пар областей $U_{p}, U_{q}$ координаты $x_{p}^{1}, \ldots, x_{p}^{n}$ гладко выражались через координаты $x_{q}^{1}, \ldots, x_{q}^{n}$ и наоборот. В каждой области $U_{p}$ задается метрич. тензор $g_{i j}^{p}\left(x_{p}\right)$, причем на пересечении $U_{p}$ и $U_{q}$ компоненты $g_{i j}^{p}$ и $g_{k l}^{q}$ связаны тензорным законом преобразования: \[ g_{i j}^{p}\left[x_{p}\left(x_{q}\right)\right] \frac{\partial x_{p}^{i}}{\partial x_{q}^{k}} \frac{\partial x_{p}^{j}}{\partial x_{q}^{l}}=g_{k l}^{q}\left(x_{q}\right) . \] Простейшим примером Р. п. является евклидово пространство, где в прямоугольных координатах метрич. тензор \[ g_{i j}(x)=\delta_{i j} \] где $\delta_{i j}$ - символ Кронекера. Если тензор $g_{i j}$ задает индефинитную метрику, то пространство называется псевдоримановым. Простейшим примером таких пространств является четырехмерное пространство-время специальной теории относительности (пространство Минковского). Геометрия Р. п. составляет предмет римановой геометрии. Псевдоримановы пространства изучаются общей теорией относительности.