БОРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА УСЛОВИЕ КВАНТОВАНИЯ

приближенная система уравнений для определения квантовых уровней (собственных значений) энергии $E_{m_{1} m_{2}} \ldots m_{n}$ квантовомеханической системы в квазиклассическом приближении. Б.-З. у. к. имеет вид \[ \oint_{\gamma_{i}(E)} \sum_{i=1}^{n} p_{i} d q_{i}=2 \pi \hbar\left(m_{j}+\frac{1}{4} \mu\left(\gamma_{j}\right)\right), \quad j=1,2, \ldots, n . \] Здесь $n-$ число степеней свободы соответствующей классич. гамильтоновой системы, $p_{i}, q_{i}$ - канонич. переменные, $\hbar-$ постоянная Планка, $m_{j}-$ целые (квантовые) числа. Интегрирование в (*) происходит по базисным циклам $\gamma_{j}=\gamma_{j}(E) n$-мерного инвариантного лагранжева тора классич. системы, расположенного в гиперповерхности постоянной энергии $E$ (лагранжевость тора эквивалентна постоянству интеграла в $\left(^{*}\right)$ при деформации контура); $\mu\left(\gamma_{j}\right)-$ целочисленный индекс Маслова (см. [5], [6]) замкнутого контура $\gamma_{j}$. Доказано (см. [5], [7]), что числа $E_{m_{1} m_{2} \ldots m_{n}}$, полученные с помощью Б.-З. у. к., являются главными членами асимптотики при $\hbar \rightarrow 0$ собственных значений энергии квантовой задачи. Прообразом Б.-З. у. к. явилось условие Н. Бора для квантования круговых орбит в планетарной модели атома (см. [1]). Оно было обобщено А. Зоммерфельдом [2] на эллиптич. орбиты, уточнялось рядом других ученых, в том числе А. Эйнштейном (см. [3]). Имеется подробный анализ ранней истории Б.-З. у. к. (см. [4]). Вопрос о существовании инвариантных торов требуемого вида является сложным. Б.-З. у. к. формулируется обычно для случая, когда классич. система интегрируема, то есть ее фазовое пространство расслаивается на инвариантные торы таким образом, что система $\left({ }^{*}\right)$, рассматриваемая относительно неизвестных: $E$ и инвариантный тор, имеет решения для любого заданного набора $m_{j}, j=1,2, \ldots, n$, квантовых чисел, взятого из нек-рой n-мерной области. Если классич. система близка к интегрируемой, то, согласно теории возмущений КАМ, у нее имеется разрывное семейство инвариантных лагранжевых торов, заполняющее положительный фазовый объем. В этом случае также можно сформулировать Б.-З. у. к., требуя выполнения равенства (*) приближенно с погрешностью $\hbar^{\alpha}, \alpha>1$ (см. [7]).

приближенная система уравнений для определения квантовых уровней (собственных значений) энергии $E_{m_{1} m_{2}} \ldots m_{n}$ квантовомеханической системы в квазиклассическом приближении. Б.-З. у. к. имеет вид \[ \oint_{\gamma_{i}(E)} \sum_{i=1}^{n} p_{i} d q_{i}=2 \pi \hbar\left(m_{j}+\frac{1}{4} \mu\left(\gamma_{j}\right)\right), \quad j=1,2, \ldots, n . \] Здесь $n-$ число степеней свободы соответствующей классич. гамильтоновой системы, $p_{i}, q_{i}$ - канонич. переменные, $\hbar-$ постоянная Планка, $m_{j}-$ целые (квантовые) числа. Интегрирование в (*) происходит по базисным циклам $\gamma_{j}=\gamma_{j}(E) n$-мерного инвариантного лагранжева тора классич. системы, расположенного в гиперповерхности постоянной энергии $E$ (лагранжевость тора эквивалентна постоянству интеграла в $\left(^{*}\right)$ при деформации контура); $\mu\left(\gamma_{j}\right)-$ целочисленный индекс Маслова (см. [5], [6]) замкнутого контура $\gamma_{j}$. Доказано (см. [5], [7]), что числа $E_{m_{1} m_{2} \ldots m_{n}}$, полученные с помощью Б.-З. у. к., являются главными членами асимптотики при $\hbar \rightarrow 0$ собственных значений энергии квантовой задачи. Прообразом Б.-З. у. к. явилось условие Н. Бора для квантования круговых орбит в планетарной модели атома (см. [1]). Оно было обобщено А. Зоммерфельдом [2] на эллиптич. орбиты, уточнялось рядом других ученых, в том числе А. Эйнштейном (см. [3]). Имеется подробный анализ ранней истории Б.-З. у. к. (см. [4]). Вопрос о существовании инвариантных торов требуемого вида является сложным. Б.-З. у. к. формулируется обычно для случая, когда классич. система интегрируема, то есть ее фазовое пространство расслаивается на инвариантные торы таким образом, что система $\left({ }^{*}\right)$, рассматриваемая относительно неизвестных: $E$ и инвариантный тор, имеет решения для любого заданного набора $m_{j}, j=1,2, \ldots, n$, квантовых чисел, взятого из нек-рой n-мерной области. Если классич. система близка к интегрируемой, то, согласно теории возмущений КАМ, у нее имеется разрывное семейство инвариантных лагранжевых торов, заполняющее положительный фазовый объем. В этом случае также можно сформулировать Б.-З. у. к., требуя выполнения равенства (*) приближенно с погрешностью $\hbar^{\alpha}, \alpha>1$ (см. [7]).