СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

распространение классической свертки \[ f * g(x)=\int f(x-y) g(y) d^{n} y \] суммируемых функций $f(x)$ и $g(x)$ на обобщенные функции. С. обобщенных функций широко применяется в теории обобщенных функций и их приложениях к уравнениям с частными производными и ряду задач математич. физики. Общая схема построения С. имеет следующий вид. Пусть $\mathscr{F}, \mathscr{G}, \mathscr{H}$ - основные пространства (см. Обобщенная функция) функций на $\mathbb{R}^{n}$ такие, что для всякой функции $\Phi(x) \in \mathscr{H}$ функция двух аргументов $\Psi(x, y)=\Phi(x+y) \in \mathscr{F} \otimes \mathscr{g}$, причем индуцированное отображение $\mathscr{H} \rightarrow \mathscr{F} \otimes \mathscr{G}-$ непрерывное. Тогда для любых обобщенных функций $f \in \mathscr{F}$ и $g \in \mathscr{G}$ равенство \[ (f * g, \Phi)=(f \otimes g, \Psi), \Phi \in \mathscr{H}, \] определяет обобщенную функцию - свертку С. обладает свойствами: \[ f * g \in \mathscr{H}^{\prime} \] (а) $f * g=g * f$ (б) $D_{i}(f * g)=\left(D_{i} f\right) * g=f *\left(D_{i} g\right), D_{i}=\partial / \partial x_{i}$; (в) $f *(g * h)=(f * g) * h$. В частности, если $\mathscr{F}=\mathscr{G}=\mathscr{K}$, то $\mathscr{F}^{\prime}-$ сверточная алгебра. Свертка аналитических функционалов. Пусть $\mathscr{H}(O), \mathscr{H}(P)$ и $\mathscr{H}(O+P)-$ основные пространства функций, аналитических в областях $O, P$ и $O+P \subset \mathbb{C}^{n}$. Тогда $\Psi(x, y)=\Phi(x+y) \in \mathscr{H}(O \times P)=\mathscr{H}(O) \otimes \mathscr{H}(P)$ для всякой функции $\Phi \in \mathscr{H}(O+P)$, причем индуцированное отображение непрерывное. Поэтому для любых аналитич. функционалов $f \in \mathscr{H}^{\prime}(O)$ и $g \in \mathscr{f}^{\prime}(P)$ определена их С. $f * g \in \mathscr{H}^{\prime}(O+P)$. В случае $O=P=\mathbb{C}^{n}, \mathscr{H}^{\prime}\left(\mathbb{C}^{n}\right)-$ сверточная алгебра. Свертка распределений. Пусть $\mathscr{E}=\mathscr{E}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ и $\mathscr{D}=$ $=\mathscr{D}\left(\mathbb{R}^{n}\right)-$ основные пространства для финитных распределений и Шварца распределений. Тогда \[ \Psi(x, y)=\Phi(x+y) \in \mathbb{E} \otimes \mathscr{D} \] для всякой функции $\Phi \in \mathscr{T}$, причем индуцированное отображение непрерывное. Отсюда, для всех $f \in \mathscr{E}^{\prime}$ и $g \in \mathscr{D}^{\prime}$ определена С. $f * g \in \mathscr{I}^{\prime}$. Часто тензорное произведение основных пространств, на к-рых определены данные обобщенные функции, не обладает свойством $\Phi(x+y) \in \mathscr{4} \otimes y$, но сами обобщенные функции однозначно продолжаются на более широкие основные пространства, для к-рых это свойство уже справедливо. В этом случае, по определению, полагают С. данных обобщенных функций равной С. их продолжений. Свертка умеренных распределений. Пусть $f, g \in \mathcal{I}_{\Gamma_{+}}^{\prime}-$ умеренные распределения с носителями, ограниченными со стороны острого замкнутого конуса Г. Здесь, \[ \Psi(x, y)=\Phi(x+y) \notin \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{2 n}\right)=\mathscr{I}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \otimes \mathcal{Y}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \] для всех ненулевых $\Phi(x) \in \mathscr{g}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$. Однако $f$ и $g$ однозначно продолжаются на основное пространство $\mathfrak{f}\left(\Gamma_{+}\right)$(см. $У_{M e}$ ренное распределение), причем теперь \[ \Psi(x, y) \in \mathscr{I}\left(\Gamma \times \Gamma_{+}\right)=\mathscr{I}\left(\Gamma_{+}\right) \otimes \mathscr{I}\left(\Gamma_{+}\right) \] для всех $\Phi \in \mathscr{I}\left(\Gamma_{+}\right)$, и индуцированное отображение непрерывное. Следовательно, определена С. $f * g \in \mathscr{I}_{\Gamma_{+}^{\prime}}^{\prime}$ Таким образом, $\mathscr{I}_{\Gamma_{+}}-$сверточная алгебра, ее единица - ${ }^{+}$дельта-функция Дирака (см. Обобщенная функция). Важной подалгеброй этой алгебры является $\mathscr{f}_{\Gamma}^{\prime}-$ множество умеренных распределений, носители к-рых лежат в конусе $Г$. Лum.: [1] В ла д и м и р о в В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979; [2] Гельфанд И. М., Ш и л о в Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; [3] 3 е м а н я н А. Г., Интегральные преобразования обобщен$\begin{array}{ll}\text { ных функций, пер. с англ., М., } 1974 . & \text { B. В. Жаринов. }\end{array}$

распространение классической свертки \[ f * g(x)=\int f(x-y) g(y) d^{n} y \] суммируемых функций $f(x)$ и $g(x)$ на обобщенные функции. С. обобщенных функций широко применяется в теории обобщенных функций и их приложениях к уравнениям с частными производными и ряду задач математич. физики. Общая схема построения С. имеет следующий вид. Пусть $\mathscr{F}, \mathscr{G}, \mathscr{H}$ - основные пространства (см. Обобщенная функция) функций на $\mathbb{R}^{n}$ такие, что для всякой функции $\Phi(x) \in \mathscr{H}$ функция двух аргументов $\Psi(x, y)=\Phi(x+y) \in \mathscr{F} \otimes \mathscr{g}$, причем индуцированное отображение $\mathscr{H} \rightarrow \mathscr{F} \otimes \mathscr{G}-$ непрерывное. Тогда для любых обобщенных функций $f \in \mathscr{F}$ и $g \in \mathscr{G}$ равенство \[ (f * g, \Phi)=(f \otimes g, \Psi), \Phi \in \mathscr{H}, \] определяет обобщенную функцию - свертку С. обладает свойствами: \[ f * g \in \mathscr{H}^{\prime} \] (а) $f * g=g * f$ (б) $D_{i}(f * g)=\left(D_{i} f\right) * g=f *\left(D_{i} g\right), D_{i}=\partial / \partial x_{i}$; (в) $f *(g * h)=(f * g) * h$. В частности, если $\mathscr{F}=\mathscr{G}=\mathscr{K}$, то $\mathscr{F}^{\prime}-$ сверточная алгебра. Свертка аналитических функционалов. Пусть $\mathscr{H}(O), \mathscr{H}(P)$ и $\mathscr{H}(O+P)-$ основные пространства функций, аналитических в областях $O, P$ и $O+P \subset \mathbb{C}^{n}$. Тогда $\Psi(x, y)=\Phi(x+y) \in \mathscr{H}(O \times P)=\mathscr{H}(O) \otimes \mathscr{H}(P)$ для всякой функции $\Phi \in \mathscr{H}(O+P)$, причем индуцированное отображение непрерывное. Поэтому для любых аналитич. функционалов $f \in \mathscr{H}^{\prime}(O)$ и $g \in \mathscr{f}^{\prime}(P)$ определена их С. $f * g \in \mathscr{H}^{\prime}(O+P)$. В случае $O=P=\mathbb{C}^{n}, \mathscr{H}^{\prime}\left(\mathbb{C}^{n}\right)-$ сверточная алгебра. Свертка распределений. Пусть $\mathscr{E}=\mathscr{E}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ и $\mathscr{D}=$ $=\mathscr{D}\left(\mathbb{R}^{n}\right)-$ основные пространства для финитных распределений и Шварца распределений. Тогда \[ \Psi(x, y)=\Phi(x+y) \in \mathbb{E} \otimes \mathscr{D} \] для всякой функции $\Phi \in \mathscr{T}$, причем индуцированное отображение непрерывное. Отсюда, для всех $f \in \mathscr{E}^{\prime}$ и $g \in \mathscr{D}^{\prime}$ определена С. $f * g \in \mathscr{I}^{\prime}$. Часто тензорное произведение основных пространств, на к-рых определены данные обобщенные функции, не обладает свойством $\Phi(x+y) \in \mathscr{4} \otimes y$, но сами обобщенные функции однозначно продолжаются на более широкие основные пространства, для к-рых это свойство уже справедливо. В этом случае, по определению, полагают С. данных обобщенных функций равной С. их продолжений. Свертка умеренных распределений. Пусть $f, g \in \mathcal{I}_{\Gamma_{+}}^{\prime}-$ умеренные распределения с носителями, ограниченными со стороны острого замкнутого конуса Г. Здесь, \[ \Psi(x, y)=\Phi(x+y) \notin \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{2 n}\right)=\mathscr{I}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \otimes \mathcal{Y}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \] для всех ненулевых $\Phi(x) \in \mathscr{g}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$. Однако $f$ и $g$ однозначно продолжаются на основное пространство $\mathfrak{f}\left(\Gamma_{+}\right)$(см. $У_{M e}$ ренное распределение), причем теперь \[ \Psi(x, y) \in \mathscr{I}\left(\Gamma \times \Gamma_{+}\right)=\mathscr{I}\left(\Gamma_{+}\right) \otimes \mathscr{I}\left(\Gamma_{+}\right) \] для всех $\Phi \in \mathscr{I}\left(\Gamma_{+}\right)$, и индуцированное отображение непрерывное. Следовательно, определена С. $f * g \in \mathscr{I}_{\Gamma_{+}^{\prime}}^{\prime}$ Таким образом, $\mathscr{I}_{\Gamma_{+}}-$сверточная алгебра, ее единица - ${ }^{+}$дельта-функция Дирака (см. Обобщенная функция). Важной подалгеброй этой алгебры является $\mathscr{f}_{\Gamma}^{\prime}-$ множество умеренных распределений, носители к-рых лежат в конусе $Г$. Лum.: [1] В ла д и м и р о в В. С., Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979; [2] Гельфанд И. М., Ш и л о в Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; [3] 3 е м а н я н А. Г., Интегральные преобразования обобщен$\begin{array}{ll}\text { ных функций, пер. с англ., М., } 1974 . & \text { B. В. Жаринов. }\end{array}$