СВОБОДНОЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ

Синусоидальное колебание. Если механич. или физич. величина $x(t)$, где $t-$ время, меняется по закону \[ x(t)=A \cos (\omega t+\varphi) \text {, } \] то говорят, что $x(t)$ совершает С. г. К. Здесь $A$, $\omega, \varphi-$ действительные постоянные, $A>0, \omega>0$. Величины $A, \omega, \varphi$ называются соответственно амплитудой, частотой, фазой С. г.к. Период С. г.к. равен $T=2 \pi / \omega$. В физике и технике часто употребляется такая терминология: С. г. к. называется гармоническим колебанием, или простым гармоническим колебанием, функция вида (1) - гармоникой, переменная величина $\omega t+\varphi-$ мгновенной фазой, а постоянная $\varphi-$ начальной фазой. Величина $\omega$ называется также круговой, или циклической, частотой, а $f=\omega / 2 \pi-$ частотой. С. г. к. (1) можно записать в виде \[ x(t)=a \cos \omega t+b \sin \omega t, \] где $a, b$ и $A, \varphi$ связаны соотношениями \[ A=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \quad \cos \varphi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \quad \sin \varphi=-\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \] или в виде \[ x(t)=\operatorname{Re}\left(A e^{i(\omega t+\varphi)}\right) . \] Часто фазой называют не $\varphi$, а $-\varphi$. Малые колебания механич. или физич. систем с одной степенью свободы вблизи устойчивого невырожденного положения равновесия представляют собой С. г. К. с большой степенью точности. Таковы, напр., малые колебания маятника; колебания груза, подвешенного на пружинке; колебания камертона; изменение напряжения и силы тока в электрич. колебательном контуре; качка корабля и т. д. Система, совершающая С. г. К., называется линейным гармоническим осциллятором, и ее колебания описываются уравнением $\quad \ddot{x}+\omega^{2} x=0$. Для математич. маятника длины $l$ и массы $m$ : \[ \omega^{2}=g / l, \] для груза массы $m$ на пружинке с коэффициентом упругости $k$ : \[ \omega^{2}=k / m \] для электрич. колебательного контура, состоящего из емкости $C$ и индуктивности $L$ : \[ \omega^{2}=1 / C L \] На фазовой плоскости $(x, \dot{x})$ положение равновесия $x=0$, $\dot{x}=0$ для С. г. К. есть центр, а фазовые траектории - окружности. Сумма двух С. г. к. \[ x_{1}(t)+x_{2}(t) \] где $x_{j}(t)=A_{j} \cos \left(\omega_{j} t+\varphi_{j}\right), j=1,2$, с соизмеримыми частотами $\omega_{1}, \omega_{2}$ есть С.г.к. Если же частоты $\omega_{1}, \omega_{2}$ несоизмеримы, то $x_{1}(t)+x_{2}(t)$ есть почти периодич. функция и \[ \sup _{t \in \mathbb{R}}\left(x_{1}(t)+x_{2}(t)\right)=A_{1}+A_{2}=-\inf _{t \in \mathbb{R}}\left(x_{1}(t)+x_{2}(t)\right) . \] Сумма $n$ С. г. к. с частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$, к-рые рационально независимы, также есть почти периодич. функция. Для суммы двух С. г. к. величина $\Omega=\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right|$ называется расстройкой. Если расстройка мала: $\Omega / \omega_{1} \ll 1$, а $\omega_{1}$, $\omega_{2}-$ одного порядка, то \[ \begin{gathered} x_{1}(t)+x_{2}(t)=A(t) \cos \left(\omega_{1} t+\varphi(t)\right), \\ A^{2}(t)=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2 A_{1} A_{2} \cos \left(\psi(t)-\varphi_{1}\right), \\ \psi(t)=\Omega(t)+\varphi_{2} . \end{gathered} \] «Амплитуда» $A(t)$ - медленно меняющаяся функция, имеющая период $2 \pi / \Omega$, и $A^{2}(t)$ меняется в пределах от $\left(A_{1}-A_{2}\right)^{2}$ до $\left(A_{1}+A_{2}\right)^{2}$. Колебание $x_{1}(t)+x_{2}(t)$ называется биением: «амплитуда» $A(t)$ поочередно увеличивается и уменьшается. Этот случай важен для анализа приемных устройств. Пусть имеется система из $n$ уравнений: \[ M \ddot{x}+K x=0, x \in \mathbb{R}^{n} \] где $M, K$ - действительные симметрич. положительно определенные матрицы с постоянными элементами. С помощью ортогонального преобразования $x=T y$ эта система приводится к распадающейся системе: \[ \ddot{y}_{j}+\omega_{i}^{2} y_{j}=0, j=1, \ldots, n . \] Координаты $y_{1}, \ldots, y_{n}$ называются нормальными. В нормальных координатах $x(t)$ есть векторная сумма С. г. к. вдоль координатных осей.

Синусоидальное колебание. Если механич. или физич. величина $x(t)$, где $t-$ время, меняется по закону \[ x(t)=A \cos (\omega t+\varphi) \text {, } \] то говорят, что $x(t)$ совершает С. г. К. Здесь $A$, $\omega, \varphi-$ действительные постоянные, $A>0, \omega>0$. Величины $A, \omega, \varphi$ называются соответственно амплитудой, частотой, фазой С. г.к. Период С. г.к. равен $T=2 \pi / \omega$. В физике и технике часто употребляется такая терминология: С. г. к. называется гармоническим колебанием, или простым гармоническим колебанием, функция вида (1) - гармоникой, переменная величина $\omega t+\varphi-$ мгновенной фазой, а постоянная $\varphi-$ начальной фазой. Величина $\omega$ называется также круговой, или циклической, частотой, а $f=\omega / 2 \pi-$ частотой. С. г. к. (1) можно записать в виде \[ x(t)=a \cos \omega t+b \sin \omega t, \] где $a, b$ и $A, \varphi$ связаны соотношениями \[ A=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \quad \cos \varphi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \quad \sin \varphi=-\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \] или в виде \[ x(t)=\operatorname{Re}\left(A e^{i(\omega t+\varphi)}\right) . \] Часто фазой называют не $\varphi$, а $-\varphi$. Малые колебания механич. или физич. систем с одной степенью свободы вблизи устойчивого невырожденного положения равновесия представляют собой С. г. К. с большой степенью точности. Таковы, напр., малые колебания маятника; колебания груза, подвешенного на пружинке; колебания камертона; изменение напряжения и силы тока в электрич. колебательном контуре; качка корабля и т. д. Система, совершающая С. г. К., называется линейным гармоническим осциллятором, и ее колебания описываются уравнением $\quad \ddot{x}+\omega^{2} x=0$. Для математич. маятника длины $l$ и массы $m$ : \[ \omega^{2}=g / l, \] для груза массы $m$ на пружинке с коэффициентом упругости $k$ : \[ \omega^{2}=k / m \] для электрич. колебательного контура, состоящего из емкости $C$ и индуктивности $L$ : \[ \omega^{2}=1 / C L \] На фазовой плоскости $(x, \dot{x})$ положение равновесия $x=0$, $\dot{x}=0$ для С. г. К. есть центр, а фазовые траектории - окружности. Сумма двух С. г. к. \[ x_{1}(t)+x_{2}(t) \] где $x_{j}(t)=A_{j} \cos \left(\omega_{j} t+\varphi_{j}\right), j=1,2$, с соизмеримыми частотами $\omega_{1}, \omega_{2}$ есть С.г.к. Если же частоты $\omega_{1}, \omega_{2}$ несоизмеримы, то $x_{1}(t)+x_{2}(t)$ есть почти периодич. функция и \[ \sup _{t \in \mathbb{R}}\left(x_{1}(t)+x_{2}(t)\right)=A_{1}+A_{2}=-\inf _{t \in \mathbb{R}}\left(x_{1}(t)+x_{2}(t)\right) . \] Сумма $n$ С. г. к. с частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$, к-рые рационально независимы, также есть почти периодич. функция. Для суммы двух С. г. к. величина $\Omega=\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right|$ называется расстройкой. Если расстройка мала: $\Omega / \omega_{1} \ll 1$, а $\omega_{1}$, $\omega_{2}-$ одного порядка, то \[ \begin{gathered} x_{1}(t)+x_{2}(t)=A(t) \cos \left(\omega_{1} t+\varphi(t)\right), \\ A^{2}(t)=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2 A_{1} A_{2} \cos \left(\psi(t)-\varphi_{1}\right), \\ \psi(t)=\Omega(t)+\varphi_{2} . \end{gathered} \] «Амплитуда» $A(t)$ - медленно меняющаяся функция, имеющая период $2 \pi / \Omega$, и $A^{2}(t)$ меняется в пределах от $\left(A_{1}-A_{2}\right)^{2}$ до $\left(A_{1}+A_{2}\right)^{2}$. Колебание $x_{1}(t)+x_{2}(t)$ называется биением: «амплитуда» $A(t)$ поочередно увеличивается и уменьшается. Этот случай важен для анализа приемных устройств. Пусть имеется система из $n$ уравнений: \[ M \ddot{x}+K x=0, x \in \mathbb{R}^{n} \] где $M, K$ - действительные симметрич. положительно определенные матрицы с постоянными элементами. С помощью ортогонального преобразования $x=T y$ эта система приводится к распадающейся системе: \[ \ddot{y}_{j}+\omega_{i}^{2} y_{j}=0, j=1, \ldots, n . \] Координаты $y_{1}, \ldots, y_{n}$ называются нормальными. В нормальных координатах $x(t)$ есть векторная сумма С. г. к. вдоль координатных осей.