АВТОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ

мероморфная функция нескольких комплексных переменных, инвариантная относительно некоторой дискретной группы Г аналитических преобразований данного комплексного многообразия $M$ : \[ f(\gamma(x))=f(x), x \in M, \quad \gamma \in \Gamma \text {. } \] Часто под А. Ф. понимают лишь функции, определенные в ограниченной связной области $D$-мерного комплексного пространства $\mathbb{C}^{n}$, инвариантные относительно дискретной группы Г автоморфизмов этой области. Наиболее подробно исследованы А. Ф. одного переменного. Основы их теории заложены в 19 в. Ф. Клейном (F. Klein) и А. Пуанкаре (Н. Poincaré). В качестве многообразия $M$ здесь обычно рассматривают односвязную область. Различаются три случая: $M=P^{1}(\mathbb{C})$ (комплексная проективная прямая, или сфера Римана), $M=\mathbb{C}$ и $M=H$ (верхняя полуплоскость $\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im} z>0\})$. Примерами А. Ф. в случае $M=\mathbb{C}$ служат периодич. функции (так, функция $e^{2 \pi i z}$ инвариантна относительно группы сдвигов $\{z \rightarrow z+n, n \in \mathbb{Z}\})$ и, в частности, эллиптич. функции. Для последних кривая $M / \Gamma$ компактна и является эллиптич. кривой. Поле $K(\Gamma)$ в этом случае будет полем всех алгебраич. функций на $M / \Gamma$. Наконец, для $M=H$ и дискретных групп $\Gamma$ таких, что $H / \Gamma$ компактно или имеет конечный объем (в метрике Пуанкаре), H/Г - алгебраич. кривая, а $K(\Gamma)$ - также поле всех алгебраич. функций на $M / Г$. Род $g$ этой кривой можно определить, построив для группы $\Gamma$ фундаментальную область в виде многоугольника на верхней полуплоскости $H$ (рассматриваемой как плоскость Лобачевского). Основной способ построения А. Ф. в этой ситуации состоит в рассмотрении отношения двух автоморфных форм одинакового достаточно большого веса. Аналогом этой конструкции для эллиптич. функций является представление их в виде отношения тета-функций.

мероморфная функция нескольких комплексных переменных, инвариантная относительно некоторой дискретной группы Г аналитических преобразований данного комплексного многообразия $M$ : \[ f(\gamma(x))=f(x), x \in M, \quad \gamma \in \Gamma \text {. } \] Часто под А. Ф. понимают лишь функции, определенные в ограниченной связной области $D$-мерного комплексного пространства $\mathbb{C}^{n}$, инвариантные относительно дискретной группы Г автоморфизмов этой области. Наиболее подробно исследованы А. Ф. одного переменного. Основы их теории заложены в 19 в. Ф. Клейном (F. Klein) и А. Пуанкаре (Н. Poincaré). В качестве многообразия $M$ здесь обычно рассматривают односвязную область. Различаются три случая: $M=P^{1}(\mathbb{C})$ (комплексная проективная прямая, или сфера Римана), $M=\mathbb{C}$ и $M=H$ (верхняя полуплоскость $\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im} z>0\})$. Примерами А. Ф. в случае $M=\mathbb{C}$ служат периодич. функции (так, функция $e^{2 \pi i z}$ инвариантна относительно группы сдвигов $\{z \rightarrow z+n, n \in \mathbb{Z}\})$ и, в частности, эллиптич. функции. Для последних кривая $M / \Gamma$ компактна и является эллиптич. кривой. Поле $K(\Gamma)$ в этом случае будет полем всех алгебраич. функций на $M / \Gamma$. Наконец, для $M=H$ и дискретных групп $\Gamma$ таких, что $H / \Gamma$ компактно или имеет конечный объем (в метрике Пуанкаре), H/Г - алгебраич. кривая, а $K(\Gamma)$ - также поле всех алгебраич. функций на $M / Г$. Род $g$ этой кривой можно определить, построив для группы $\Gamma$ фундаментальную область в виде многоугольника на верхней полуплоскости $H$ (рассматриваемой как плоскость Лобачевского). Основной способ построения А. Ф. в этой ситуации состоит в рассмотрении отношения двух автоморфных форм одинакового достаточно большого веса. Аналогом этой конструкции для эллиптич. функций является представление их в виде отношения тета-функций.