СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ РЕДУКЦИЯ

обобщение на некоммутативный случай процедуры понижения порядка гамильтоновой системы при помощи системы инволютивных первых интегралов. Пусть рассматривается пуассоново действие группы Ли $G$ на симплектич. многообразии $(M, \omega)$ и пусть $p \in \mathfrak{S}^{*}-$ регулярное значение отображения моментов $P: M \rightarrow \mathfrak{s}^{*}$. Стационарная подгруппа $G_{p}$ точки $p$ действует на многообразии $M_{p}=P^{-1}(p)$. Пусть фактормногообразие $F_{p}=M_{p} / G_{p}$ орбит группы $G_{p}$ на $M_{p}$ определено (напр., если $G_{p}$ компактна и действует на $M_{p}$ без неподвижных точек). Тогда многообразие $F_{p}$ наследует с $M$ симплектич. структуру и называется приведенным фазовым пространством, или симплектической редукцией многообразия $M$. $G$-инвариантный гамильтониан $H: M \rightarrow \mathbb{R}$ определяет функцию на $F_{p}$, к-рая называется приведенным гамильтонианом. Гамильтоново поле гамильтониана $H$ касается многообразия $M_{p}$ и $G_{p}$-инвариантно и, следовательно, спускается на векторное поле $F_{p}$, к-рое является гамильтоновым для приведенного гамильтониана. Таким образом, исходная система с гамильтонианом $H$, обладающая группой симметрии $G$, сводится к системе на приведенном пространстве с приведенным гамильтонианом. М. Э. Казарян.

обобщение на некоммутативный случай процедуры понижения порядка гамильтоновой системы при помощи системы инволютивных первых интегралов. Пусть рассматривается пуассоново действие группы Ли $G$ на симплектич. многообразии $(M, \omega)$ и пусть $p \in \mathfrak{S}^{*}-$ регулярное значение отображения моментов $P: M \rightarrow \mathfrak{s}^{*}$. Стационарная подгруппа $G_{p}$ точки $p$ действует на многообразии $M_{p}=P^{-1}(p)$. Пусть фактормногообразие $F_{p}=M_{p} / G_{p}$ орбит группы $G_{p}$ на $M_{p}$ определено (напр., если $G_{p}$ компактна и действует на $M_{p}$ без неподвижных точек). Тогда многообразие $F_{p}$ наследует с $M$ симплектич. структуру и называется приведенным фазовым пространством, или симплектической редукцией многообразия $M$. $G$-инвариантный гамильтониан $H: M \rightarrow \mathbb{R}$ определяет функцию на $F_{p}$, к-рая называется приведенным гамильтонианом. Гамильтоново поле гамильтониана $H$ касается многообразия $M_{p}$ и $G_{p}$-инвариантно и, следовательно, спускается на векторное поле $F_{p}$, к-рое является гамильтоновым для приведенного гамильтониана. Таким образом, исходная система с гамильтонианом $H$, обладающая группой симметрии $G$, сводится к системе на приведенном пространстве с приведенным гамильтонианом. М. Э. Казарян.