СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма $\omega$ на гладком многообразии $M$. С. с. существует только на многообразиях четной размерности $2 n$. Замкнутость формы равносильна равенству нулю интеграла формы $\omega$ по границе любого трехмерного подмногообразия. Невырожденность равносильна тому, что старшая внешняя степень $\omega^{n}$ С. с. $\omega$ является формой объема, то есть $\omega^{n}$. Локально С. с. диффеоморфизмом можно привести к стандартной форме (Дарбу теорема). Вырождение С. с. - обращение в нуль старшей внешней степени $\omega^{n}$ замкнутой дифференциальной 2-формы $\omega$ на $2 n$-мерном многообразии $M^{2 n}$. Пример вырождения С. с. - ограничение С. с. на подмногообразие. Два ростка подмногообразия в симплектич. пространстве переводятся друг в друга симплектоморфизмом объемлющего пространства, если ограничения симплектич. формы на эти подмногообразия эквивалентны. Пусть $n=2$. Тогда замкнутая 2-форма общего положения имеет вырождение на гладком трехмерном многообразии. Вне этого многообразия $\omega$ приводится к нормальной форме Дарбу: \[ d p_{1} \wedge d q_{1}+d p_{2} \wedge d q_{2} \] В общей точке этого многообразия $\omega$ приводится к виду \[ p_{1} d p_{1} \wedge d q_{1}+p_{2} d p_{2} \wedge d q_{2} \] В общей точке нек-рой кривой этого многообразия $\omega$ приводится к одному из двух видов: \[ d\left(x-z^{2} / 2\right) \wedge d y+d\left(x z \pm t y-z^{3} / 3\right) \wedge d t . \] В исключительных точках этой кривой форма $\omega$ имеет по крайней мере один модуль. См. также Симплектическая геометрия, Симплектическое многообразие. М. Э. Казарян.

замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма $\omega$ на гладком многообразии $M$. С. с. существует только на многообразиях четной размерности $2 n$. Замкнутость формы равносильна равенству нулю интеграла формы $\omega$ по границе любого трехмерного подмногообразия. Невырожденность равносильна тому, что старшая внешняя степень $\omega^{n}$ С. с. $\omega$ является формой объема, то есть $\omega^{n}$. Локально С. с. диффеоморфизмом можно привести к стандартной форме (Дарбу теорема). Вырождение С. с. - обращение в нуль старшей внешней степени $\omega^{n}$ замкнутой дифференциальной 2-формы $\omega$ на $2 n$-мерном многообразии $M^{2 n}$. Пример вырождения С. с. - ограничение С. с. на подмногообразие. Два ростка подмногообразия в симплектич. пространстве переводятся друг в друга симплектоморфизмом объемлющего пространства, если ограничения симплектич. формы на эти подмногообразия эквивалентны. Пусть $n=2$. Тогда замкнутая 2-форма общего положения имеет вырождение на гладком трехмерном многообразии. Вне этого многообразия $\omega$ приводится к нормальной форме Дарбу: \[ d p_{1} \wedge d q_{1}+d p_{2} \wedge d q_{2} \] В общей точке этого многообразия $\omega$ приводится к виду \[ p_{1} d p_{1} \wedge d q_{1}+p_{2} d p_{2} \wedge d q_{2} \] В общей точке нек-рой кривой этого многообразия $\omega$ приводится к одному из двух видов: \[ d\left(x-z^{2} / 2\right) \wedge d y+d\left(x z \pm t y-z^{3} / 3\right) \wedge d t . \] В исключительных точках этой кривой форма $\omega$ имеет по крайней мере один модуль. См. также Симплектическая геометрия, Симплектическое многообразие. М. Э. Казарян.