БОРНОВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ И КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

приближенный метод вычисления амплитуд упругого рассеяния и неупругого взаимодействия микрочастиц в рамках теории возмущений в первом приближении по потенциалу взаимодействия. Метод сформулирован М. Борном (M. Born, 1926). Применимость Б. п. для короткодействующих потенциалов определяется условием $U R / \hbar v \ll 1$, где $R-$ размер области действия потенциала, $v$ - относительная скорость рассеиваемых частиц, $\bar{U}$ - среднее значение потенциала (в случае квантовой теории поля - энергии взаимодействия) в области с размером $\sim R$. Это условие означает, что время $\sim R / v$, к-рое частицы проводят в области взаимодействия, мало по сравнению со временем $\sim \hbar / U$, за к-рое взаимодействие успевает сильно изменить состояние частиц. Для кулоновского поля Б. п. справедливо при условии $Z \alpha / \hbar v \ll 1$, где $Z$ - атомный номер, $\alpha \approx 1 / 137$ - постоянная тонкой структуры. Это означает, что скорость $v$ частиц должна превышать скорость $v_{\mathrm{K}}=Z \alpha / \hbar$ движения электрона на первой боровской орбите. Б. п. лучше выполняется при больших скоростях частиц. При произвольных $v$ оно справедливо, если $|U(R)| \ll \hbar^{2} / m R^{2}$. В нерелятивистской квантовой механике при справедливости Б. п. амплитуда упругого рассеяния действительна и равна \[ f=-\frac{m}{2 \pi \hbar^{2}} \int U(\boldsymbol{r}) e^{-i k \boldsymbol{r}} d V \] где $\hbar \boldsymbol{k}=\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{p}_{f}-$ изменение импульса в процессе рассеяния, $\boldsymbol{p}_{i}$ и $\boldsymbol{p}_{f}-$ импульсы рассеиваемых частиц до и после рассеяния, $m$ - масса рассеиваемой частицы, $U(\boldsymbol{r})$ - потенциал взаимодействия ( $d V$ - элемент объема). Поскольку в общем случае амплитуда рассеяния является комплексной величиной, ее действительность в Б. п. означает, что фазы рассеяния $\delta_{l}$ в состоянии с орбитальным квантовым числом $l$ должны быть малы. Для них в Б. П. справедливо выражение: \[ \delta_{l}=-\frac{\pi m}{2 \hbar} \int_{0}^{\infty} U(\boldsymbol{r})\left[J_{l+1 / 2}(k r)\right]^{2} \boldsymbol{r} d \boldsymbol{r} \] где $J_{l+1 / 2}$ - функция Бесселя. Б. п. широко используется при анализе упругого и неупругого рассеяния и служит основным методом извлечения информации о формфакторах элементарных частиц, атомов и атомных ядер. См. также Борновский ряд. Л. И. Лапидус, М. В. Терентьев.

приближенный метод вычисления амплитуд упругого рассеяния и неупругого взаимодействия микрочастиц в рамках теории возмущений в первом приближении по потенциалу взаимодействия. Метод сформулирован М. Борном (M. Born, 1926). Применимость Б. п. для короткодействующих потенциалов определяется условием $U R / \hbar v \ll 1$, где $R-$ размер области действия потенциала, $v$ - относительная скорость рассеиваемых частиц, $\bar{U}$ - среднее значение потенциала (в случае квантовой теории поля - энергии взаимодействия) в области с размером $\sim R$. Это условие означает, что время $\sim R / v$, к-рое частицы проводят в области взаимодействия, мало по сравнению со временем $\sim \hbar / U$, за к-рое взаимодействие успевает сильно изменить состояние частиц. Для кулоновского поля Б. п. справедливо при условии $Z \alpha / \hbar v \ll 1$, где $Z$ - атомный номер, $\alpha \approx 1 / 137$ - постоянная тонкой структуры. Это означает, что скорость $v$ частиц должна превышать скорость $v_{\mathrm{K}}=Z \alpha / \hbar$ движения электрона на первой боровской орбите. Б. п. лучше выполняется при больших скоростях частиц. При произвольных $v$ оно справедливо, если $|U(R)| \ll \hbar^{2} / m R^{2}$. В нерелятивистской квантовой механике при справедливости Б. п. амплитуда упругого рассеяния действительна и равна \[ f=-\frac{m}{2 \pi \hbar^{2}} \int U(\boldsymbol{r}) e^{-i k \boldsymbol{r}} d V \] где $\hbar \boldsymbol{k}=\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{p}_{f}-$ изменение импульса в процессе рассеяния, $\boldsymbol{p}_{i}$ и $\boldsymbol{p}_{f}-$ импульсы рассеиваемых частиц до и после рассеяния, $m$ - масса рассеиваемой частицы, $U(\boldsymbol{r})$ - потенциал взаимодействия ( $d V$ - элемент объема). Поскольку в общем случае амплитуда рассеяния является комплексной величиной, ее действительность в Б. п. означает, что фазы рассеяния $\delta_{l}$ в состоянии с орбитальным квантовым числом $l$ должны быть малы. Для них в Б. П. справедливо выражение: \[ \delta_{l}=-\frac{\pi m}{2 \hbar} \int_{0}^{\infty} U(\boldsymbol{r})\left[J_{l+1 / 2}(k r)\right]^{2} \boldsymbol{r} d \boldsymbol{r} \] где $J_{l+1 / 2}$ - функция Бесселя. Б. п. широко используется при анализе упругого и неупругого рассеяния и служит основным методом извлечения информации о формфакторах элементарных частиц, атомов и атомных ядер. См. также Борновский ряд. Л. И. Лапидус, М. В. Терентьев.