СКАЧКООБРАЗНЫЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС

марковский процесс, у которого значения изменяются мгновенно (скачки) в отдельные (случайные) моменты времени. В наиболее простом случае, когда марковский процесс $\left\{\xi_{t}, t \in \mathbb{R}\right\}$ может принимать лишь конечное или счетное число значений $x_{1}, \ldots, x_{n}, \ldots$ для любого фиксированного момента времени $t_{0}$, условная вероятность того, что в момент времени $t_{0}+\Delta t, \Delta t>0$, процесс примет значение $\xi_{t_{0}+\Delta t}=y\left(=x_{k}\right)$ при условии, что его значение в момент времени $t_{0}$ совпадает с $x\left(=x_{s} \neq x_{k}\right.$ ) (вероятность перескока из $x_{s}$ в $x_{k}$ ), равна: \[ \mathrm{P}\left\{\xi_{t_{0}+\Delta t}=y \mid \xi_{t_{0}}=x\right\}=q\left(y, x, t_{0}\right) \Delta t+o(\Delta t) . \] При этом условная вероятность того, что значение $x$ в течение промежутка времени $\Delta t$ не изменится, оказывается равной \[ 1-\sum_{y} q\left(y, x, t_{0}\right) \Delta t+o(\Delta t) \] Величины $\{q(x, y, t) \geqslant 0, x \neq y\}$ называются инфинитезимальными вероятностями перехода марковского процесса $\left\{\xi_{t}, t \in \mathbb{R}\right\}$. По ним полностью восстанавливается переходная функция $P\left(x, y, t_{1}, t_{2}\right)$ процесса, то есть условная вероятность принять процессу в момент времени $t_{2}$ значение $y$ при условии, что в момент времени $t_{1}$ он принял значение $x$. В случае, когда множество возможных значений С. м. п. $\left\{\xi_{t}, t \in \mathbb{R}\right\}$ оказывается непрерывным, формула (1) выражает плотность $\mathrm{P}_{\Delta t}\left\{y \mid \xi_{t_{0}}=x\right\}$ условной вероятности «перескочить» от значения $x$ к значению $y$ за время $\Delta t$ [при этом в формуле (2) сумму по у следует заменить интегралом]. Всякая реализация $\{x(t), t \in \mathbb{R}\}$ С. м. п. представляет собой кусочно постоянную функцию, у к-рой скачки (разрывы) происходят лишь в отдельные изолированные моменты времени и число таких скачков за любой конечный интервал времени конечно.

марковский процесс, у которого значения изменяются мгновенно (скачки) в отдельные (случайные) моменты времени. В наиболее простом случае, когда марковский процесс $\left\{\xi_{t}, t \in \mathbb{R}\right\}$ может принимать лишь конечное или счетное число значений $x_{1}, \ldots, x_{n}, \ldots$ для любого фиксированного момента времени $t_{0}$, условная вероятность того, что в момент времени $t_{0}+\Delta t, \Delta t>0$, процесс примет значение $\xi_{t_{0}+\Delta t}=y\left(=x_{k}\right)$ при условии, что его значение в момент времени $t_{0}$ совпадает с $x\left(=x_{s} \neq x_{k}\right.$ ) (вероятность перескока из $x_{s}$ в $x_{k}$ ), равна: \[ \mathrm{P}\left\{\xi_{t_{0}+\Delta t}=y \mid \xi_{t_{0}}=x\right\}=q\left(y, x, t_{0}\right) \Delta t+o(\Delta t) . \] При этом условная вероятность того, что значение $x$ в течение промежутка времени $\Delta t$ не изменится, оказывается равной \[ 1-\sum_{y} q\left(y, x, t_{0}\right) \Delta t+o(\Delta t) \] Величины $\{q(x, y, t) \geqslant 0, x \neq y\}$ называются инфинитезимальными вероятностями перехода марковского процесса $\left\{\xi_{t}, t \in \mathbb{R}\right\}$. По ним полностью восстанавливается переходная функция $P\left(x, y, t_{1}, t_{2}\right)$ процесса, то есть условная вероятность принять процессу в момент времени $t_{2}$ значение $y$ при условии, что в момент времени $t_{1}$ он принял значение $x$. В случае, когда множество возможных значений С. м. п. $\left\{\xi_{t}, t \in \mathbb{R}\right\}$ оказывается непрерывным, формула (1) выражает плотность $\mathrm{P}_{\Delta t}\left\{y \mid \xi_{t_{0}}=x\right\}$ условной вероятности «перескочить» от значения $x$ к значению $y$ за время $\Delta t$ [при этом в формуле (2) сумму по у следует заменить интегралом]. Всякая реализация $\{x(t), t \in \mathbb{R}\}$ С. м. п. представляет собой кусочно постоянную функцию, у к-рой скачки (разрывы) происходят лишь в отдельные изолированные моменты времени и число таких скачков за любой конечный интервал времени конечно.