СЛАБАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ

Термин, означающий, что нелинейные члены уравнения (формулы) являются в некотором смысле младшими по сравнению с линейными. Уравнение с параметрами $\delta, h \rightarrow 0$ : \[ L\left(x, u, \delta \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots, \partial^{|m|} \frac{\partial^{|m|_{u}}}{\partial x^{m}}, \delta, h\right)=0, \quad x=\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \] имеет С. н. на функциях вида $u=\gamma f(S(x) / h, x)$, если старший член разложения $L\left(x, \gamma f(\tau, x), \gamma \frac{\delta}{h} \frac{\partial S}{\partial x} \frac{\partial f(\tau, x)}{\partial \tau}, \ldots, \gamma\left(\frac{\delta}{h}\right)^{|m|}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{m} \frac{\partial^{|m|} f(\tau, x)}{\partial \tau^{|m|}}, \delta, h\right)$ в ряд Лорана по $h$ линеен относительно $f, \ldots, \partial^{|m|} f / \partial \tau^{|m|}$. В зависимости от соотношения между $\delta, \gamma$ и $h$ одно и то же уравнение может быть нелинейным или С. н. Напр., уравнения теории упругости (см. [1]): \[ \delta^{2} \frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial t^{2}}=\delta^{2} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \lambda_{i k l m}\left(\frac{\partial u_{l}}{\partial x_{m}}+\frac{\partial u_{m}}{\partial x_{l}}+\delta \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{l}} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{m}}\right) \] слабо нелинейны на $u=\gamma f(S(x, t) / h, x, t)$ при $\delta=\gamma=h$ и нелинейны при $\delta=h, \gamma=1$ или $\delta=1, \gamma=h$.

Термин, означающий, что нелинейные члены уравнения (формулы) являются в некотором смысле младшими по сравнению с линейными. Уравнение с параметрами $\delta, h \rightarrow 0$ : \[ L\left(x, u, \delta \frac{\partial u}{\partial x}, \ldots, \partial^{|m|} \frac{\partial^{|m|_{u}}}{\partial x^{m}}, \delta, h\right)=0, \quad x=\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \] имеет С. н. на функциях вида $u=\gamma f(S(x) / h, x)$, если старший член разложения $L\left(x, \gamma f(\tau, x), \gamma \frac{\delta}{h} \frac{\partial S}{\partial x} \frac{\partial f(\tau, x)}{\partial \tau}, \ldots, \gamma\left(\frac{\delta}{h}\right)^{|m|}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{m} \frac{\partial^{|m|} f(\tau, x)}{\partial \tau^{|m|}}, \delta, h\right)$ в ряд Лорана по $h$ линеен относительно $f, \ldots, \partial^{|m|} f / \partial \tau^{|m|}$. В зависимости от соотношения между $\delta, \gamma$ и $h$ одно и то же уравнение может быть нелинейным или С. н. Напр., уравнения теории упругости (см. [1]): \[ \delta^{2} \frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial t^{2}}=\delta^{2} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \lambda_{i k l m}\left(\frac{\partial u_{l}}{\partial x_{m}}+\frac{\partial u_{m}}{\partial x_{l}}+\delta \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{l}} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{m}}\right) \] слабо нелинейны на $u=\gamma f(S(x, t) / h, x, t)$ при $\delta=\gamma=h$ и нелинейны при $\delta=h, \gamma=1$ или $\delta=1, \gamma=h$.