СЛОЕНИЕ НА $n$-МЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ И $M^{n}$

разбиение $M^{n}$ на линейно связанные подмножества (именуемые слоями) такое, что $M^{n}$ можно покрыть координатными окрестностями $U_{\alpha}$ с локальными координатами $x_{\alpha}^{1}$, ..., $x_{\alpha}^{n}$, в которых локальные слои - компоненты связности пересечения слоев с $U_{\alpha}$ задаются уравнениями \[ x_{\infty}^{p+1}=\text { const }, \ldots, x_{\alpha}^{n}=\text { const. } \] При этом слоение принадлежит классу $C^{r}, 0 \leqslant r \leqslant \infty$ или является аналитическим в зависимости от того, снабжено ли $M^{n}$ структурой класса $C^{r}$ или аналитической и координаты являются соответственно класса $C^{r}$ или аналитическими (при $r=0$ слоение называют также топологическим). Число $p$ называется размерностью слоения, а $q=n-p$ - его коразмерностью. Слоения рассматриваются как самостоятельный объект, так и с точки зрения применения их к теории динамич. систем. Проблемы, к-рые здесь возникают, связаны с изучением возможных типов поведения отдельных слоев, а также с изучением разбиения многообразия $M^{n}$ на области, заполненные слоями с одинаковым поведением. Большое внимание уделяется проблеме топологич. классификации слоений и связи топологич. инвариантов слоений с топологией многообразия $M^{n}$. Наибольшие достижения в этом круге вопросов имеются для слоений коразмерности 1. К таким результатам относится теорема Новикова, доказывающая гипотезу Эресмана: всякое $C^{r}$-слоение $(r \geqslant 2)$ на трехмерной сфере $S^{3}$ обладает компактным слоем. Имеются результаты по топологич. классификации нек-рых типов слоений на $n$-мерном торе. Получила развитие теория слоений с особенностями. Содержательные результаты получены для таких слоений на двумерных многообразиях. В гиперболич. динамич. системах естественно появляется пара слоений $W^{s}$ и $W^{u}$, к-рые являются объединением устойчивых и неустойчивых многообразий точек из $M^{n}$ и определяются следующим образом. Для гиперболич. системы $f^{t}(t \in \mathbb{Z}$ или $t \in \mathbb{R})$ слой $W^{s}(x)$ слоения $W^{s}$, проходящий через точку $x \in M^{n}$, состоит из всех точек $y \in M$, для к-рых $\rho\left(f^{t}(x), f^{t}(y)\right) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow+\infty$, где $\rho-$ нек-рая метрика на $M^{n}$. При этом сходимость к 0 происходит, как известно, с экспоненциальной скоростью, показатель к-рой может зависеть от $x$. Поэтому слоение $W^{S}$ называют сжимающимся (при $t \rightarrow+\infty)$, или устойчивым. Это слоение является инвариантным, то есть \[ f^{t}\left(W^{s}(x)\right)=W\left(f^{t}(x)\right) \text { для всякого } x \in M^{n} . \] Аналогично, устремляя $t$ в $-\infty$, строится сжимающееся (при $t \rightarrow-\infty)$ слоение $W^{u}$, к-рое называется растягивающимся, или неустойчивым. В типичных случаях пара слоений $W^{S}$ и $W^{u}$ является трансверсальной и транзитивной. Транзитивность пары слоений $W_{1}, W_{2}$ означает, что для любых точек $x, y \in M^{n}$ существуют точки $x_{0}=x, x_{1}$, $\ldots, x_{n}=y$ такие, что $x_{i} \in w_{j}\left(x_{i-1}\right) \in W_{j}, i=1,2, \ldots, n-1, j=1$ или 2.

разбиение $M^{n}$ на линейно связанные подмножества (именуемые слоями) такое, что $M^{n}$ можно покрыть координатными окрестностями $U_{\alpha}$ с локальными координатами $x_{\alpha}^{1}$, ..., $x_{\alpha}^{n}$, в которых локальные слои - компоненты связности пересечения слоев с $U_{\alpha}$ задаются уравнениями \[ x_{\infty}^{p+1}=\text { const }, \ldots, x_{\alpha}^{n}=\text { const. } \] При этом слоение принадлежит классу $C^{r}, 0 \leqslant r \leqslant \infty$ или является аналитическим в зависимости от того, снабжено ли $M^{n}$ структурой класса $C^{r}$ или аналитической и координаты являются соответственно класса $C^{r}$ или аналитическими (при $r=0$ слоение называют также топологическим). Число $p$ называется размерностью слоения, а $q=n-p$ - его коразмерностью. Слоения рассматриваются как самостоятельный объект, так и с точки зрения применения их к теории динамич. систем. Проблемы, к-рые здесь возникают, связаны с изучением возможных типов поведения отдельных слоев, а также с изучением разбиения многообразия $M^{n}$ на области, заполненные слоями с одинаковым поведением. Большое внимание уделяется проблеме топологич. классификации слоений и связи топологич. инвариантов слоений с топологией многообразия $M^{n}$. Наибольшие достижения в этом круге вопросов имеются для слоений коразмерности 1. К таким результатам относится теорема Новикова, доказывающая гипотезу Эресмана: всякое $C^{r}$-слоение $(r \geqslant 2)$ на трехмерной сфере $S^{3}$ обладает компактным слоем. Имеются результаты по топологич. классификации нек-рых типов слоений на $n$-мерном торе. Получила развитие теория слоений с особенностями. Содержательные результаты получены для таких слоений на двумерных многообразиях. В гиперболич. динамич. системах естественно появляется пара слоений $W^{s}$ и $W^{u}$, к-рые являются объединением устойчивых и неустойчивых многообразий точек из $M^{n}$ и определяются следующим образом. Для гиперболич. системы $f^{t}(t \in \mathbb{Z}$ или $t \in \mathbb{R})$ слой $W^{s}(x)$ слоения $W^{s}$, проходящий через точку $x \in M^{n}$, состоит из всех точек $y \in M$, для к-рых $\rho\left(f^{t}(x), f^{t}(y)\right) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow+\infty$, где $\rho-$ нек-рая метрика на $M^{n}$. При этом сходимость к 0 происходит, как известно, с экспоненциальной скоростью, показатель к-рой может зависеть от $x$. Поэтому слоение $W^{S}$ называют сжимающимся (при $t \rightarrow+\infty)$, или устойчивым. Это слоение является инвариантным, то есть \[ f^{t}\left(W^{s}(x)\right)=W\left(f^{t}(x)\right) \text { для всякого } x \in M^{n} . \] Аналогично, устремляя $t$ в $-\infty$, строится сжимающееся (при $t \rightarrow-\infty)$ слоение $W^{u}$, к-рое называется растягивающимся, или неустойчивым. В типичных случаях пара слоений $W^{S}$ и $W^{u}$ является трансверсальной и транзитивной. Транзитивность пары слоений $W_{1}, W_{2}$ означает, что для любых точек $x, y \in M^{n}$ существуют точки $x_{0}=x, x_{1}$, $\ldots, x_{n}=y$ такие, что $x_{i} \in w_{j}\left(x_{i-1}\right) \in W_{j}, i=1,2, \ldots, n-1, j=1$ или 2.